Bài 3.37 trang 164 SBT hình học 10

Cho ba điểm \(A(2;1), B(0;5), C(-5;-10)\).

LG a

Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm \(G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\).

\(H\) là trực tâm tam giác \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\).

\(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nếu \(IA = IB = IC\).

Giải chi tiết:

\(G\) là trọng tâm tam giác nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{2 + 0 - 5}}{3} =  - 1\\{y_G} = \dfrac{{1 + 5 - 10}}{3} =  - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)

\(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 2;y - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 15} \right)\), \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x;y - 5} \right),\) \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 7; - 11} \right)\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 5\left( {x - 2} \right) - 15\left( {y - 1} \right) = 0\\ - 7x - 11\left( {y - 5} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 5\\7x + 11y = 55\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Khi đó \(IA = IB = IC\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2}\\{x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 10} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 4 - 2y + 1 =  - 10y + 25\\ - 10y + 25 = 10x + 25 + 20y + 100\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 8y = 20\\ - 10x - 30y = 100\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( { - 1; - \dfrac{4}{3}} \right),H\left( {11; - 2} \right),I\left( { - 7; - 1} \right)\)

LG b

Chứng minh I, G, H thẳng hàng.                    

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\overrightarrow {IH}  = k\overrightarrow {IG} \) suy ra ba điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = \left( {18; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {IG}  = \left( {6; - \dfrac{1}{3}} \right)\) nên \(\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \) suy ra I, G, H thẳng hàng.

LG c

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Tìm bán kính \(R = IA\) và suy ra phương tình đường tròn.

Giải chi tiết:

 Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm \(I\left( { - 7; - 1} \right)\) và bán kính \(IA = \sqrt {85} \) nên có phương trình \({\left( {x + 7} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 85.\)