Bài 3.40 trang 165 SBT hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng \(\Delta :x - y + 2 = 0\) và điểm A(2;0).

a) Chứng mình rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng \(\Delta \).

b) Tìm điểm M trên \(\Delta \) sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\Delta \left( O \right) = 2 > 0\), \(\Delta \left( A \right) = 2 + 2 > 0\).

Vậy A và O nằm về cùng một phía đối với \(\Delta \).

b) Gọi \(O'\) là điểm đối xứng của O qua \(\Delta \) , ta có:

\(OM + MA = O'M + MA \ge O'A\)

Ta có : OM + MA ngắn nhất

\( \Leftrightarrow O',M,A\) thẳng hàng.

Xét đường thẳng d đi qua O và vuông góc với \(\Delta \).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1} \right)\) là VTPT của \(d\).

Mà \(d\) đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) nên \(d:1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y = 0\).

d cắt \(\Delta \) tại H 

\( \Leftrightarrow \) tọa độ \(H\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( { - 1;1} \right)\).

H là trung điểm của \(OO'\), suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}
- 1 = \dfrac{{0 + {x_{O'}}}}{2}\\
1 = \dfrac{{0 + {y_{O'}}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{O'}} = - 2\\
{y_{O'}} = 2
\end{array} \right.\)

Do đó \(O'\left( { - 2;2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {O'A}  = \left( {4; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{OA'}}}  = \left( {1;2} \right)\) là VTPT của \(O'A\).

Mà \(O'A\) đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) nên \(O'A:1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

\(M = O'A \cap \Delta \) nên tọa độ \(M\) thỏa mãn

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y =   2\\x - y =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{2}{3} \\y =\dfrac{4}{3} \end{array} \right.\) 

Vậy \(M = \left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right).\)