Bài 3.35 trang 164 SBT hình học 10

Cho elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{c}{a}\) trong các trường hợp sau:

LG a

Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ;

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và mối quan hệ giữa \(a,b\) ở đề bài để tìm mối quan hệ giữa \(c\) và \(a\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}\)\( \Rightarrow {a^2} = 9\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\)\( \Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}\) \( \Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a\).

Vậy \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

LG b

Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;

Phương pháp giải:

Sử dụng chú ý \(\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = \dfrac{{{F_1}{F_2}}}{2}\) và công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).

Giải chi tiết:

 \(\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = \dfrac{{{F_1}{F_2}}}{2}\) \( \Rightarrow b = c\) \( \Rightarrow {b^2} = {c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} - {c^2} = {c^2}\) \( \Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\) \( \Rightarrow a = c\sqrt 2 \).

Vậy \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

LG c

Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

Giải chi tiết:

\({A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}\)\( \Rightarrow {a^2} + {a^2} - {c^2} = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}\)\( \Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c\).

Vậy \(\dfrac{c}{a} = \sqrt {\dfrac{2}{5}} \).