Bài 3.34 trang 164 SBT hình học 10

Cho elip (E): \(9{x^2} + 25{y^2} = 225\).

LG a

 Tìm tọa độ hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) và các đỉnh của (E).

Phương pháp giải:

 - Đưa phương trình \(\left( E \right)\) về dạng chính tắc rồi suy ra \(a,b\).

- Tính \(c\) theo công thức \({c^2} = {a^2} - {b^2}\) và suy ra tọa độ các tiêu điểm.

Giải chi tiết:

(E): \(9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).

a) Ta có: \({a^2} = 25,{b^2} = 9\)\( \Rightarrow a = 5,b = 3\).

Ta có : \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\)\( \Rightarrow c = 4\).

Vậy (E) có hai tiêu điểm là : \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và có bốn đỉnh là \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\), \({A_2}\left( {5;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 3} \right)\), \({B_2}\left( {0;3} \right)\).

LG b

Tìm điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M \) nhìn \({F_1}{F_2}\) dưới một góc vuông.

Phương pháp giải:

 Sử dụng chú ý \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\) \( \Leftrightarrow OM = O{F_1} = O{F_2} = c\), tìm \(c\).

- Lập hệ phương trình ẩn \(x,y\), giải hệ và kết luận.

Giải chi tiết:

Gọi \(M(x;y)\) là điểm cần tìm, ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}M \in (E)\\\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in (E)\\O{M^2} = {c^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{x^2} + 25{y^2} = 225\\{x^2} + {y^2} = 16\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{{175}}{{16}}\\{y^2} = \dfrac{{81}}{{16}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{{5\sqrt 7 }}{4}\\y =  \pm \dfrac{9}{4}\end{array} \right.\)

Vậy có bốn điểm \(M \) thỏa mãn điều kiện của đề bài là :

\(\left( {\dfrac{{5\sqrt 7 }}{4};\dfrac{9}{4}} \right)\), \(\left( {\dfrac{{5\sqrt 7 }}{4}; - \dfrac{9}{4}} \right)\), \(\left( { - \dfrac{{5\sqrt 7 }}{4};\dfrac{9}{4}} \right)\), \(\left( { - \dfrac{{5\sqrt 7 }}{4}; - \dfrac{9}{4}} \right)\).