Bài 3.31 trang 163 SBT hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(M\left( {x;y} \right)\) di động có tọa độ thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\cos t\\y = 5\sin t\end{array} \right.\)

trong đó \(t\) là tham số. Hãy chững tỏ \(M\) đi động trên một elip.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\cos t\\y = 5\sin t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 49{\cos ^2}t\\{y^2} = 25{\sin ^2}t\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}t = \dfrac{{{x^2}}}{{49}}\\{\sin ^2}t = \dfrac{{{y^2}}}{{25}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}t + {\sin ^2}t = \dfrac{{{x^2}}}{{49}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}}\) hay \(\dfrac{{{x^2}}}{{49}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1.\)

Vậy điểm \(M\) di động trên elip \((E)\) có phương \(\dfrac{{{x^2}}}{{49}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1.\)