Bài 3.21 trang 172 SBT giải tích 12

Đề bài

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\). Chứng minh rằng:

\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_0^a {f(x)dx} \,\,\left( 1 \right)\\0,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

(1): nếu \(f\) là hàm số chẵn.

(2): nếu \(f\) là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \)

Lời giải chi tiết

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\), ta có: \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx}  = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}  + \int\limits_0^a {f(x)dx} \)

Đổi biến \(x =  - t\) đối với tích phân \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \), ta được:

\(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}  =  - \int\limits_a^0 {f( - t)dt} \)\( = \int\limits_0^a {f(t)dt}  = \int\limits_0^a {f(x)dx} \)

Vậy \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)

Trường hợp sau chứng minh tương tự.

Áp dụng:

Ta có: \(g( - x) = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {{\left( { - x} \right)}^2}} } \right)\)\( = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) \( = \ln \left( {\dfrac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\) \( =  - \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) =  - g\left( x \right)\)

Nên \(g(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0} \)