Bài 28 trang 79 Vở bài tập toán 7 tập 2

Đề bài

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trên tia \(AG\) lấy điểm \(G’\) sao cho \(G\) là trung điểm của \(AG’\). (h.27)

a) So sánh các cạnh của tam giác \(BGG’\) với các đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác \(BGG’\) với các cạnh của tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

a) So sánh các cạnh của tam giác \(BGG'\) với các đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có :

\(BG = \dfrac{2}{3}BE,\) \(CG = \dfrac{2}{3}CF,\) \(AG = \dfrac{2}{3}AD.\)

Mặt khác, do \(G\) là trung điểm của \(AG'\) nên \(GG' = AG = \dfrac{2}{3}AD.\)

Ta còn có \(\Delta BDG' = \Delta CDG\) \(\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(BG' = CG = \dfrac{2}{3}CF.\)

Tóm lại ta có

\(GG' = \dfrac{2}{3}AD;\) \(BG = \dfrac{2}{3}BE;\) \(BG' = \dfrac{2}{3}CF.\)

b) So sánh các đường trung tuyến \(BD,\,GI,\,G'K\) của tam giác \(BGG'\) với các cạnh của tam giác \(ABC.\) Ta có \(BD = \dfrac{1}{2}BC\) (vì \(D\) là trung điểm của \(BC\)).

Hai tam giác \(AEG\) và \(G'KG\) có \(AG = GG'\) vì \(G\) là trung điểm của \(AG'\), \(GK = GE\) vì cùng bằng \(\dfrac{1}{3}BE\) và \(\widehat {AGE} = \widehat {G'GK}\) (đối đỉnh). Vậy \(\Delta AEG = \Delta G'KG\), do đó

\(G'K = AE = \dfrac{1}{2}AC\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\)).

Hai tam giác \(BDG'\) và \(CDG\) bằng nhau theo chứng minh a nên ta có \(\widehat {G'BD} = \widehat {GCD},\) suy ra \(BG'//CF,\) do đó \(\widehat {FGB} = \widehat {GBI}\) (so le trong). Hơn nữa, \(BG' = CG\) \(\left( { = \dfrac{2}{3}CF} \right)\) suy ra \(BI = \dfrac{1}{2}BG' = \dfrac{1}{2}CG = GF\).

Vậy \(\Delta BFG = \Delta GIB\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(GI = BF = \dfrac{1}{2}AB.\)

Tóm lại \(BD = \dfrac{1}{2}BC;\) \(GI = \dfrac{1}{2}AB;\) \(G'K = \dfrac{1}{2}AC.\)