Bài 28 trang 128 Vở bài tập toán 7 tập 1

Đề bài

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt. Lấy các điểm \(A,B\) thuộc tia \(Ox\) sao cho \(OA <OB.\)

Lấy các điểm \(C, D\) thuộc tia \(Oy\) sao cho \(OC = OA, OD = OB.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC.\)

Chứng minh rằng:

a) \(AD = BC\);

b) \(∆EAB = ∆ECD\);

c ) \(OE\) là tia phân giác của góc \(xOy.\)

Lời giải chi tiết

a) \(∆OAD\) và \(∆OCB\) có:

\(OA = OC\) (gt)

\(\widehat{O}\) chung

\(OD = OB\) (gt)

Do đó \(∆OAD = ∆OCB\) (c.g.c) suy ra \(   AD = BC \) (hai cạnh tương ứng).

b) \(∆OAD = ∆OCB\) (câu a) suy ra \( \widehat{D}= \widehat{B}\); \(\widehat{A _{1}}= \widehat{ C _{1}}\) (hai góc tương ứng) do đó \(\widehat{A _{2}} = \widehat{ C _{2}}\).

\(∆EAB\) và \(∆ECD\) có:

\(\widehat{B_1} = \widehat{D_1}\) (chứng minh trên)

\(AB = CD\) (là hiệu của các đoạn thẳng bằng nhau \(OB=OD\) và \(OA=OC\))

\(\widehat{A _{2}} = \widehat{ C _{2}}\) (chứng minh trên)

Do đó \( ∆EAB =  ∆ECD \) (g.c.g)

c) \(∆EAB =  ∆ECD\) (câu b) suy ra \( EA = EC\) (hai cạnh tương ứng).

\(∆OAE\) và \(∆OCE \) có:

\(OE\) là cạnh chung

\(OA=OC\) (gt)

\(EA=EC\) (chứng minh trên)

Do đó \(  ∆OAE = ∆OCE\) (c.c.c) suy ra \(  \widehat{ AOE} = \widehat{ C OE}\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(OE\) là tia phân giác của góc \(xOy.\)

Chú ý:

\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}=\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\)

Mà \(\widehat{A _{1}} = \widehat{ C _{1}}\) nên \(\widehat{A _{2}} = \widehat{ C _{2}}\).

\(AB = OB - OA \)                  (1)

\(CD = OD - OC  \)                (2)

\(OC = OA, OD = OB \)  (gt)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AB = CD.\)