Bài 2.55 trang 104 SBT hình học 10

Cho hình bình hành ABCD có \(AB = 3a,AD = 5a\); góc BAD bằng \({120^0}\).

LG a

Tìm các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD,} \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \);

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Sử dụng phối hợp các công thức định lý cô sin và định lý sin trong tam giác.

Giải chi tiết:

 \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = AB.AD.cos\widehat {DAB}\)\( = 3a.5a.\cos {120^0} =  - \dfrac{{15{a^2}}}{2}\)

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = A{D^2} - A{B^2} = 16{a^2}\)

LG b

Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Sử dụng phối hợp các công thức định lý cô sin và định lý sin trong tam giác.

Giải chi tiết:

\({\overrightarrow {BD} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\)\( = A{D^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  = 49{a^2}\) \( \Rightarrow BD = 7a\)

ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 5a;

\(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = {180^0}\)\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0}\)

Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác ABC, ta được:

\(A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2BC.AB.\cos \widehat {ABC} = 19{a^2}\)\( \Rightarrow AC = a\sqrt {19} \)

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta được:

\(R = \dfrac{{AC}}{{2\sin \widehat {ABC}}} = \dfrac{{a\sqrt {19} }}{{2\sin {{60}^0}}} = a\dfrac{{\sqrt {57} }}{3}\)