Bài 2.49 trang 85 SBT đại số và giải tích 11

Kết quả \((b,c)\) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó \(b\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, \(c\) là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai \({x^2} + bx + c = 0\). Tính xác suất để

LG a

Phương trình vô nghiệm;

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố \(A\).

+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).

+) Tính số phần tử của biến cố \(A\): \(n(A)\).

+) Tính xác suất của biến cố \(A\): \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\).

Trong bài:

- Không gian mẫu là công việc hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp nên sử dụng quy tắc nhân để tính số phần tử trong không gian mẫu.

- Số phần tử trong biến cố sử dụng quy tắc cộng để tính.

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {\left( {b,c} \right):1 \le b,c \le 6} \right\}\).

Ta có \(b\) có \(6\) cách, \(c\) có \(6\) cách nên theo quy tắc nhân, số phần tử trong không gian mẫu \(n(\Omega)=6.6=36\)

Gọi \(A\) là các biến cố cần tìm xác suất ứng với phương trình vô nghiệm.

Ta có \(\Delta  = {b^2} - 4c.\)

\(A = \left\{ {\left( {b,c} \right) \in \Omega |{b^2} - 4c < 0} \right\}\)

\(=\{\left( {1,1} \right),\left( {1,2} \right),...,\left( {1,6} \right),\)

\(\left( {2,2} \right),...,\left( {2,6} \right),\)

\(\left( {3,3} \right),\left( {3,4} \right),\left( {3,5} \right),\left( {3,6} \right),\)

\(\left( {4,5} \right),\left( {4,6} \right)\}\).

Suy ra \(n\left( A \right) = 6 + 5 + 4 + 2 = 17\)

Vậy xác suất để phương trình vô nghiệm là \({\rm{P}}\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{17}}{{36}}\).

LG b

Phương trình có nghiệm kép;

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố \(A\).

+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).

+) Tính số phần tử của biến cố \(A\): \(n(A)\).

+) Tính xác suất của biến cố \(A\): \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\).

Trong bài:

- Không gian mẫu là công việc hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp nên sử dụng quy tắc nhân để tính số phần tử trong không gian mẫu.

- Số phần tử trong biến cố sử dụng quy tắc cộng để tính.

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {\left( {b,c} \right):1 \le b,c \le 6} \right\}\).

Ta có \(b\) có \(6\) cách, \(c\) có \(6\) cách nên theo quy tắc nhân, số phần tử trong không gian mẫu \(n(\Omega)=6.6=36\)

Gọi \(B\) là các biến cố cần tìm xác suất ứng với phương trình có nghiệm kép.

Ta có \(\Delta  = {b^2} - 4c.\)

\(\begin{array}{l}B = \left\{ {\left( {b,c} \right) \in \Omega |{b^2} - 4c = 0} \right\}\\{\rm{  }} = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {4,4} \right)} \right\}.\end{array}\)

Khi đó \(n(B)=2\)

Vậy xác suất để phương trình có nghiệm kép là \(P\left( B \right) = \dfrac{2}{{36}} = \dfrac{1}{{18}}\).

LG c

Phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Với bài toán này ta tính xác suất bằng cách sử dụng hệ quả: Với mọi biến cố \(A\) ta có \(P(\overline{A})=1-P(A)\).

Lời giải chi tiết:

- Không gian mẫu là công việc hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp nên sử dụng quy tắc nhân để tính số phần tử trong không gian mẫu. Không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {\left( {b,c} \right):1 \le b,c \le 6} \right\}\). Ta có \(b\) có \(6\) cách, \(c\) có \(6\) cách nên theo quy tắc nhân, số phần tử trong không gian mẫu \(n(\Omega)=6.6=36\).

- Gọi \(C\) là các biến cố cần tìm xác suất ứng với phương trình có nghiệm kép.

Ta có \(\Delta  = {b^2} - 4c.\)

\(C = \left\{ {\left( {b,c} \right) \in \Omega |{b^2} - 4c \ge 0} \right\}\)

Ta thấy biến cố \(C\) là biến cố đối của \(A\) : \(C = \overline A \), do đó theo hệ quả với mọi biến cố \(A\) ta có \(P(\overline{A})=1-P(A)\) ta có

Vậy \(P\left( C \right) = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{{17}}{{36}} = \dfrac{{19}}{{36}}\).