Bài 2.47 trang 85 SBT đại số và giải tích 11

Một tổ có \(7\) nam và \(3\) nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:

LG a

Cả hai đều là nữ;

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).

+) Tính số phần tử của biến cố A: \(n(A)\).

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\).

Trong câu này, số phần tử trong không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên \(2\) người trong một tổ là tổ hợp chập \(2\) của \(10\), số phần tử của biến cố là số cách chọn cả \(2\) người được chọn đều là nữ nghĩa là chọn \(2\) người nữ trong \(3\) người nữ nên ta sử dụng tổ hợp để tính.

Lời giải chi tiết:

Chọn ngẫu nhiên \(2\) người của một tổ \(10\) người nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=C_{10}^2\).

Kí hiệu \({A_2}\) là biến cố: “Hai người đã chọn đều là nữ”.

Biến cố \(A_2\) là chọn \(2\) người nữ trong \(3\) người nữ nên số phần tử của biến cố là \(n(A_2)=C_3^2\)

Vậy xác suất sao cho hai người được chọn đều là nữ là \(P\left( {{A_2}} \right) = \dfrac{{n\left( {{A_2}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_3^2}}{{C_{10}^2}} = \dfrac{3}{{45}} = \dfrac{1}{{15}}\).

LG b

Không có nữ nào;

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).

+) Tính số phần tử của biến cố A: \(n(A)\).

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\).

Trong câu này, không gian mẫu là cách chọn ngẫu nhiên \(2\) người trong một tổ là tổ hợp chập \(2\) của \(10\), biến cố là cả \(2\) người được chọn đều không là nữ nghĩa là chọn \(2\) người nam trong \(7\) người nam nên ta sử dụng tổ hợp để tính.

Lời giải chi tiết:

Chọn ngẫu nhiên \(2\) người của một tổ \(10\) người nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=C_{10}^2\).

Kí hiệu \({A_0}\) là biến cố: “Trong hai người đã chọn không có nữ nào”.

Biến cố \(A_0\) là chọn \(2\) người nam trong \(7\) người nam.

Khi đó số phần tử của biến cố \(n(A_0)=C_7^2\)

Vậy xác suất sao cho trong hai người được chọn không có nữ là \(P\left( {{A_0}} \right)=\dfrac{n(A_0)}{n(\Omega)} = \dfrac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}\).

LG c

Ít nhất một người là nữ;

Phương pháp giải:

Với bài toán này ta tính xác suất bằng cách sử dụng hệ quả: Với mọi biến cố \(A\) ta có \(P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)\).

Lời giải chi tiết:

Biến cố trong \(2\) người được chọn có ít nhất một người là nữ là biến cố đối của biến cố \(A_0\) không có người nữ nào.

Do đó theo hệ quả với mọi biến cố \(A\) ta có \(P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)\)

Ta có \(P\left( {\overline {{A_0}} } \right) = 1 - P\left( {{A_0}} \right) = 1 - \dfrac{7}{{15}} = \dfrac{8}{{15}}\).

LG d

Có đúng một người là nữ

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).

+) Tính số phần tử của biến cố A: \(n(A)\).

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\).

Trong câu này

- Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên \(2\) người trong một tổ là tổ hợp chập \(2\) của \(10\) nên ta sử dụng tổ hợp để tính số phần tử của không gian mẫu.

- Biến cố là trong \(2\) người có một người là nữ nghĩa là công việc hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp chọn \(1\) nữ trong \(3\) nữ và chọn \(1\) nam trong \(7\) nam nên ta sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân để tính số phần tử của biến cố.

Lời giải chi tiết:

Chọn ngẫu nhiên \(2\) người của một tổ \(10\) người nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=C_{10}^2\).

Kí hiệu \(A_1\) là biến cố: “Trong hai người có một nữ”.

Biến cố \(A_1\) là chọn \(1\) nữ trong \(3\) nữ và chọn \(1\) bạn nam trong \(7\) bạn nam.

Nên số phần tử của biến cố là: \(n(A_1)={C_7^1.C_3^1}\)

Vậy xác suất sao cho trong hai người được chọn có một nữ là

\(P\left( {{A_1}} \right) =\dfrac{n(A_1)}{n(\Omega)}\)

\(= \dfrac{{C_7^1C_3^1}}{{C_{10}^2}} = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}\).