Bài 2.4, 2.5, 2.6 phần bài tập bổ sung trang 39, 40 SBT toán 7 tập 2

Bài 2.4

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(BD\) là đường phân giác của góc \(B \,(D ∈ AC).\) Chứng minh rằng \(BD < BC.\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất tia phân giác 

+) Sử dụng: 

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABC,\) do \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\) nên tia \(BD\) ở giữa hai tia \(BA\) và \(BC,\) suy ra \(D\) ở giữa \(A\) và \(C, \) hay \(AD < AC.\)

Hai đường xiên \(BC, BD\) lần lượt có hình chiếu trên \(AC\) là \(AC\) và \(AD.\) Hơn nữa \(AD < AC,\) suy ra \(BD < BC\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) 

Bài 2.5

Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường thẳng \(xy\)

a) Tìm trên đường thẳng \(xy\) hai điểm \(M, N\) sao cho hai đường xiên \(AM\) và \(AN\) bằng nhau.

b) Lấy một điểm \(D\) trên đường thẳng \(xy.\) Chứng minh rằng:

- Nếu \(D\) ở giữa \(M\) và \(N\) thì \(AD < AM ;\)

- Nếu \(D\) không thuộc đoạn thẳng \(MN\) thì \(AD > AM.\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng: 

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Phân tích bài toán: Giả sử \(M\) và \(N\) là hai điểm của đường thẳng \(xy\) mà \(AM = AN.\) Nếu gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến \(xy\) thì \(HM, HN\) lần lượt là hình chiếu của các đường xiên \(AM, AN.\)

Từ \(AM = AN\) suy ra \(HM = HN,\) từ đó xác định được hai điểm \(M, N.\)

Cách vẽ: Kẻ \(AH\) vuông góc với \(xy (H ∈ xy)\)

Lấy hai điểm \(M, N\) trên \(xy\) sao cho \(HM = HN\)

(Ta có thể dùng compa vẽ một đường tròn tâm \(H\) bán kính tùy ý lớn hơn \(AH,\) đường tròn này cắt đường thẳng \(xy\) tại hai điểm \(M, N\) thỏa mãn \(HM = HN)\)

Chứng minh: Ta có hai đường xiên \(AM, AN\) lần lượt có hình chiếu là \(HM\) và \(HN,\) mà \(HM=HN\) (theo cách vẽ) suy ra \(AM = AN\) (1uan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

b) Xét trường hợp \(D\) ở giữa \(M\) và \(N\)

-  Nếu \(D ≡ H\) thì \(AD = AH,\) suy ra  \(AD < AM\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

- Nếu \(D\) ở giữa \(M\) và \(H\) thì \(HD < HM,\) do đó \(AD  < AM\) (đường xiên có hình chiếu ngắn hơn thì ngắn hơn)

- Nếu \( D\) ở giữa \(H\) và \(N\) thì \(HD < HN,\) do đó \(AD < AN\) (đường xiên có hình chiếu ngắn hơn thì ngắn hơn)

Theo a) ta có \(AM = AN\) nên \(AD < AM\)

Vậy khi \( D\) ở giữa \(M\) và \(N\) thì ta luôn có \(AD < AM\)

Bài 2.6

Cho điểm \(P\) nằm ngoài đường thẳng \(d.\)

a) Hãy nêu cách vẽ đường xiên \(PQ, PR\) sao cho \(PQ = PR\) và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \)

b) Trong hình dựng được ở câu a), cho \(PQ = 18cm.\) Tính độ dài hình chiếu của hai đường xiên \(PQ, PR\) trên \(d.\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng: 

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

+) Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau, tính chất tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

a) Phân tích bài toán:

Giả sử \(PQ\) và \(PR\) là hai đường xiên kẻ từ \(P\) đến \(d\) sao cho \(PQ = PR\) và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \). Gọi \(H \) là chân đường vuông góc kẻ từ \(P\) đến \(d.\) Khi đó \(∆PHQ = ∆PHR\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông), suy ra \(\widehat {HPQ} = \widehat {HP{\rm{R}}} = 30^\circ \). Từ đó suy ra cách vẽ hai đường xiên \(PQ\) và \(PR.\)  

Cách vẽ: Kẻ \(PH \bot d\) \((H ∈ d).\) Dùng thước đo góc để vẽ góc \(HPx\) bằng \(30°.\) Tia \(Px\) cắt \(d\) tại điểm \(Q.\) Trên tia đối của tia \(HQ\) lấy điểm \(R\) sao cho \(HR = HQ.\)

Từ đó ta có hai đường xiên \(PQ\) và \(PR\) cần vẽ lần lượt có hình chiếu trên \(d\) là \(HQ\) và \(HR.\)  

Chứng minh: Do \(HQ = HR\) (theo cách vẽ) nên \(PQ = PR\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Hơn nữa vì \(PQ=PR,HR=HQ\) nên \(∆PHQ = ∆PHR\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông), suy ra \(\widehat {HPQ} = \widehat {HP{\rm{R}}} = 30^\circ \) nên \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 2\widehat {HPQ} = 60^\circ \)

b)  Tam giác \(PQR\) có \(PQ = PR\) và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \) nên tam giác \(PQR\) là tam giác đều mà \(PQ = 18cm\) \(\Rightarrow QR =18cm\)

Tam giác đều \(PQR\) có \(PH\) là đường cao nên \(PH\) cũng là đường trung tuyến do đó \(HQ = HR =\dfrac{QR}{2}=9cm.\)