Bài 1.96 trang 43 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m < \sqrt[3]{{ - 30}}\)                       B. \(0 < m < 1\)

C. \(m < 0\)                               D. \(m > \sqrt[3]{{ - 30}}\)

Lời giải chi tiết

Xét hàm \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 5\) trên \(\mathbb{R}\) có:

\(y' = {x^2} - mx = x\left( {x - m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.\).

+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' = {x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất.

+) Nếu \(m \ne 0\) thì hàm số có hai điểm cực trị là \({x_1} = 0,{x_2} = m\).

Khi đó \({y_1}  = y\left( 0 \right) = \frac{1}{3}{.0^3} - \frac{1}{2}m{.0^2} - 5 =  - 5\)

\({y_2}  = y\left( m \right) = \frac{1}{3}.{m^3} - \frac{1}{2}m.{m^2} - 5\) \(=  - \dfrac{1}{6}{m^3} - 5\).

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị sao cho \({y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\) hay \( - 5.\left( { - \dfrac{1}{6}{m^3} - 5} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}{m^3} + 5 > 0\) \( \Leftrightarrow {m^3} >  - 30 \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{{ - 30}}\).

Chọn D.