Bài 1.92 trang 42 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2{x^3} + 3m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m = \sqrt[3]{5}\)              B. \(m < \sqrt[3]{5}\)

C. \(m > \sqrt[3]{5}\)              D. \(m \in \mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết

Xét hàm \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6mx = 6x\left( {x + m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - m\end{array} \right.\)

+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' = 6{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

+) Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow \) Hàm số có hai điểm cực trị.

Đẻ phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) có một giao điểm duy nhất với trục hoành \( \Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\).

Ta có: \({x_1} = 0\) \( \Rightarrow {y_1} =2.0^3 +3m.0^2 -5=  - 5\)

\({x_2} =  - m\) \( \Rightarrow {y_2} = 2.(-m)^3+3m.(-m)^2-5\) \(=-2m^3+3m^3-5={m^3} - 5\).

\({y_1}.{y_2} =  - 5\left( {{m^3} - 5} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^3} - 5 < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt[3]{5}\).

Vậy \(m < \sqrt[3]{5}\).

Chọn B.