Bài 1.83 trang 41 SBT giải tích 12
Giải bài 1.83 trang 41 sách bài tập giải tích 12. Chứng minh rằng phương trình...
Đề bài
Chứng minh rằng phương trình \(3{x^5} + 15x-8 = 0\) chỉ có một nghiệm thực.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ.
- Chứng tỏ phương trình có nghiệm, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Mà \(f(0) = - 8 < 0,f(1) = 10 > 0\)\( \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in (0;1)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\), tức là phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.
Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất (đpcm).
Cách khác:
Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3{x^5} + 15x - 8} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^5}\left( {3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3{x^5} + 15x - 8} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^5}\left( {3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = + \infty
\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Từ bbt ta thấy đường thẳng y=0 luôn cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại duy nhất 1 điểm hay pt đã cho có nghiệm duy nhất.
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 1.83 trang 41 SBT giải tích 12 timdapan.com"
