Bài 1.78 trang 40 SBT giải tích 12

Giải bài 1.78 trang 40 sách bài tập giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho...


Cho hàm số: \(y = {x^3}-3{x^2}\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Sự biến thiên: \(y' = 3{x^2} - 6x = 3x(x - 2)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(2; + \infty )\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0;{y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2;{y_{CT}} = y\left( 2 \right) =  - 4\).

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

Điểm uốn: \(y'' = 6x - 6,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\)\(y(1) =  - 2\) suy ra đồ thị có điểm uốn \(I\left( {1; - 2} \right)\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị:


LG b

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3}-3{x^2}-m = 0\;\) có ba nghiệm phân biệt.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

Phương pháp giải:

- Biến dổi phương trình về \({x^3} - 3{x^2} = m\).

- Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số vừa vẽ với đường thẳng \(y = m\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\)\( \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m\) (*)

Phương trình (*) có \(3\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y = m\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt. Từ đó suy ra \( - 4 < m < 0.\)



Từ khóa phổ biến