Giải bài 15 trang 35 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho \(x,y\) là các số thực dương và số thực a thỏa mãn:

          \(a = \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}}  + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}} \). Chứng minh rằng \({a^{\frac{2}{3}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {y^{\frac{2}{3}}}.\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b = \sqrt[6]{a}\\m = \sqrt[6]{x}\\n = \sqrt[6]{y}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {b^6}\\x = {m^6}\\y = {n^6}\end{array} \right.\left( {m,n,b > 0} \right)\)

Theo đề bài:

\(\begin{array}{l}a = \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}}  + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}}  \Leftrightarrow {b^6} = \sqrt {{m^{12}} + \sqrt[3]{{{m^{24}}{n^{12}}}}}  + \sqrt {{n^{12}} + \sqrt[3]{{{m^{12}}{n^{24}}}}} \\ \Leftrightarrow {b^6} = \sqrt {{m^{12}} + {m^8}{n^4}}  + \sqrt {{n^{12}} + {m^4}{n^8}}  \Leftrightarrow {b^6} = \sqrt {{m^8}\left( {{m^4} + {n^4}} \right)}  + \sqrt {{n^8}\left( {{m^4} + {n^4}} \right)} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^6} = {m^4}\sqrt {{m^4} + {n^4}}  + {n^4}\sqrt {{m^4} + {n^4}}  \Leftrightarrow {b^6} = \left( {{m^4} + {n^4}} \right)\sqrt {{m^4} + {n^4}} \\ \Leftrightarrow {b^6} = {\left( {\sqrt {{m^4} + {n^4}} } \right)^3} \Leftrightarrow {b^2} = \sqrt {{m^4} + {n^4}}  \Leftrightarrow {b^4} = {m^4} + {n^4}\end{array}\)

\({\rm{hay }}{a^{\frac{2}{3}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {y^{\frac{2}{3}}}.\)