Bài 1.46 trang 42 SBT hình học 10

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Chọn hệ tọa độ \((O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\), trong đó \(O \) là trung điểm của cạnh \(BC\), \(\overrightarrow i \) cùng hướng với \(\overrightarrow {OC} \), \(\overrightarrow j \) cùng hướng với \(\overrightarrow {OA} \).

a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác \(ABC\).

b) Tìm tọa độ trung điểm \(E\) của \(AC\).

c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Lời giải chi tiết

a) Do \(O\) là trung điểm \(CB\) nên \(OB = OC = \dfrac{a}{2}\) và \(OA = \sqrt {A{C^2} - O{C^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Từ hình vẽ ta suy ra \(A\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),B\left( { - \dfrac{a}{2};0} \right),C\left( {\dfrac{a}{2};0} \right)\)

b) Do \(E\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_E} = \dfrac{{0 + \dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\\{y_E} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + 0}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\) nên \(E\left( {\dfrac{a}{4};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm của tam giác.

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{0 + \left( { - \dfrac{a}{2}} \right) + \dfrac{a}{2}}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + 0 + 0}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array} \right.\) hay \(G\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)\).