Bài 1.40 trang 38 SBT hình học 11

Đề bài

Gọi \(A',B'\) và \(C'\) tương ứng là ảnh của ba điểm\(A,B\) và \(C\) qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB}  = p\overrightarrow {AC} \) thì \(\overrightarrow {A'B'}  = p\overrightarrow {A'C'} \), trong đó \(p\) là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\) thì điểm \(B'\) nằm giữa hai điểm \(A'\) và \(C'\).

Lời giải chi tiết

Xét phép đồng dạng tỉ số \(k\) biến các điểm \(A,B,C\) thành \(A',B',C'\).

Khi đó theo bài 1.39 ta có:

\(A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} = {k^2}A{B^2},\)\(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'}  = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \).

Ta có: \({\left( {\overrightarrow {A'B'}  - p\overrightarrow {A'C'} } \right)^2}\)\( = A'B{'^2} - 2p\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'}  + {p^2}A'C{'^2}\)

\( = {k^2}\left( {A{B^2} - 2p\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + {p^2}A{C^2}} \right)\)\( = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AB}  - p\overrightarrow {AC} } \right)^2} = 0\)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  - p\overrightarrow {A'C'}  = \overrightarrow 0 \)

Giả sử ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng và điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\). Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = p\overrightarrow {AC} \), với \(0 < p < 1\). Khi đó \(\overrightarrow {A'B'}  = p\overrightarrow {A'C'} \), với \(0 < p < 1\).

Do đó ba điểm \(A',B',C'\) thẳng hàng và điểm \(B'\) nằm giữa hai điểm \(A'\) và \(C'\).