Bài 1.36 trang 37 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hai đường tròn có cùng tâm \(O\), bán kính lần lượt là \(R\) và \(r,\left( {R > r} \right)\). \(A\) là một điểm thuộc đường tròn bán kính \(r\). Hãy dựng đường thẳng qua \(A\) cắt đường tròn bán kính \(r\) tại \(B\), cắt đường tròn bán kính \(R\) tại \(C,D\) sao cho \(CD = 3AB\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r\), \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\).

Giả sử đường thẳng đã dựng được. Khi đó \(DA = AB = BC\) nên \(D = {D_A}\left( B \right)\).

Mà \(B \in \left( C \right)\) nên \(D \in \left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng qua tâm \(A\).

Lại có \(D \in \left( C \right)\) (giả thiết) nên \(D = \left( {C'} \right) \cap \left( {{C_1}} \right)\).

Từ đó ta có cách dựng:

+) Dựng ảnh \(\left( {C'} \right)\) của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(A\).

+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) không cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) thì không có điểm \(C,D\) thỏa mãn bài toán.

+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc \(\left( {{C_1}} \right)\) tại duy nhất một điểm thì có một cặp điểm \(C,D\) thỏa mãn bài toán.

+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại hai điểm phân biệt thì có hai cặp điểm \(C,D\) thỏa mãn bài toán.