Bài 5 trang 26 SGK Hình học lớp 12

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).

Lời giải chi tiết

\(\left.\begin{matrix} BA \perp CD& \\ BA \perp CA& \end{matrix}\right\}\)\( \Rightarrow BA\bot (ADC)\) \(\Rightarrow BA \bot CE\)

Mặt khác \(BD \bot (CEF) \Rightarrow BD \bot CE\).

Từ đó suy ra

\(CE \bot (ABD) \Rightarrow CE ⊥ EF, CE \bot AD\).

Vì tam giác \(ACD\) vuông cân, \(AC= CD= a\) nên \(CE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Ta có \(BC = a\sqrt{2}\), \(BD = \sqrt{2a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BCD\) ta có: \(CF\cdot BD = DC\cdot BC\) nên \(CF=\dfrac{a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)

Từ đó suy ra 

\(EF= \sqrt{CF^{2}-CE^{2}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}a^{2}-\dfrac{a^{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a\)

\(DF=\sqrt{DC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{a^{2}-\dfrac{2}{3}a^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)

Từ đó suy ra \(S_{\Delta CEF}=\dfrac{1}{2}FE\cdot EC=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)

Vậy \(V_{D.CEF}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta CEF}\cdot DF=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a^{3}}{36}.\)