Bài 2 trang 25 SGK Hình học 12

Đề bài

Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \(a\).

Lời giải chi tiết

Chia khối tám mặt đều cạnh \(a\) thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh \(a\) là \(E.ABCD\) và \(F.ABCD\).

Xét chóp tứ giác đều \(E.ABCD\). Gọi \(H\) là tâm hình vuông \(ABCD\) ta có: \(EH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \(EHA\) có: \(E{H^2} = E{A^2} - A{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow {V_{E.ABCD}} = \dfrac{1}{3}EH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Vậy thể tích khối tám mặt đều cạnh \(a\) là: \(V = 2.{V_{E.ABCD}}= \displaystyle {{{a^3} \sqrt 2 } \over 3}\).

Chú ý: Hình chóp đa giác đều có hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm mặt đáy.