Câu 4.5 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 2} \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {n + 1}}\,\,\,\,\, \hfill \cr} \right.\)

a

Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) và

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\) với mọi n

Lời giải chi tiết:

- Chứng minh \({u_n} > 0\) với mọi n bằng phương pháp quy nạp theo n:

+) Với  n = 1 suy ra \({u_1} = {1 \over 2}>0\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(u_k>0\)

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

\({u_{k + 1}} = {{{u_k}} \over {k+1}} >0\) vì \(u_k>0\) và k+1>0

Suy ra \({u_n} > 0\) với mọi n (đpcm)

- Chứng minh \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\) với mọi n:

\({u_n} > 0\) với mọi n nên ta có:

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}=\frac{1}{n+1} \le {1 \over 2}\) vì \(n+1\ge 2\) với mọi \(n \ge 1\)

b

Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {u_2} \le {1 \over 2}{u_1} \cr 
& {u_3} \le {1 \over 2}{u_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{u_1},... \cr 
& 0 \le {u_n} < {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} \cr} \)\(=\left( {{1 \over 2}} \right)^n\)

\(\lim {\left( {{1\over 2}} \right)^n} = 0\)

Theo nguyên lý kẹp ta có \(\lim {u_n} = 0\)