Câu 3.28 trang 90 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho dãy số \(({v_n})\) , xác định bởi

\({v_1} = 2\) và \({v_{n + 1}} = 3{v_n} + 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

Chứng minh rằng \({v_n} = {3^n} - n\) với mọi \(n \ge 1.\)  

Lời giải chi tiết

Chứng minh \({v_n} = {3^n} - n\) với mọi \(n \ge 1.\)   (1) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n=1\), ta có  \({v_1} = 2={3^1} - 1\)

Giả sử (1) đúng với \(n=k\), ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\).

Ta có \({v_k} = {3^k} -k\) với mọi \(n \ge 1.\)

\({v_{k + 1}} = 3{v_k} + 2k - 1\)

\( = 3({3^k} - k) + 2k - 1 = {3^{k + 1}} - (k + 1)\)

Suy ra (1) đúng với \(n=k+1\)

Vậy \({v_n} = {3^n} - n\) với mọi \(n \ge 1.\)