Câu 3.19 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xác định số thực a để dãy số \(({u_n}),\) với \({u_n} = {{a{n^2} + 1} \over {2{n^2} + 3}},\) là:

LG a

Một dãy số giảm ;

Lời giải chi tiết:

Viết lại công thức xác định \({u_n}\) dưới dạng.

\({u_n} = {a \over 2} + {{2 - 3a} \over {2.\left( {2{n^2} + 3} \right)}}\)

Từ đó, ta có

\({u_{n + 1}} - {u_n} = {{2 - 3a} \over 2} \times \left( {{1 \over {2.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right)\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)                     (1)

Dễ thấy

\(\left( {{1 \over {2.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right)\, < 0\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

Vì thế, từ (1) suy ra \(({u_n})\) là một dãy số giảm \( \Leftrightarrow {{2 - 3a} \over 2} > 0 \Leftrightarrow a < {2 \over 3}\)

LG b

Một dãy số tăng .

Lời giải chi tiết:

Viết lại công thức xác định \({u_n}\) dưới dạng.

\({u_n} = {a \over 2} + {{2 - 3a} \over {2.\left( {2{n^2} + 3} \right)}}\)

Từ đó, ta có

\({u_{n + 1}} - {u_n} = {{2 - 3a} \over 2} \times \left( {{1 \over {2.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right)\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)                     (1)

Dễ thấy

\(\left( {{1 \over {2.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right)\, < 0\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

Vì thế, từ (1) suy ra \(({u_n})\) là một dãy số tăng \( \Leftrightarrow {{2 - 3a} \over 2} < 0 \Leftrightarrow a < {2 \over 3}\)