Câu 3.21 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng dãy số \(({u_n}),\) với \({u_n} = {{7n + 5} \over {5n + 7}},\) là một dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải chi tiết

Viết lại công thức xác định \({u_n}\) dưới dạng

                                \({u_n} = {7 \over 5} - {{24} \over {5.\left( {5n + 7} \right)}}\)

Từ đó, suy ra

\({u_{n + 1}} - {u_n} = {{24} \over 5} \times \left( {{1 \over {5n + 7}} - {1 \over {5\left( {n + 1} \right) + 7}}} \right) > 0\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

Và                           \(1 \le {u_n} \le {7 \over 5}\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right),\,\,\,\left( {do\,\,0 < {1 \over {5n + 7}} \le {1 \over {12}}} \right)\)

Vì thế, \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng và bị chặn.