Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Lời giải chi tiết

Giả sử M(x₀, lnx₀) ∈ (C) (x₀ > 0 )

Ta có: \(y' = {1 \over x}\)

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

\(y = {1 \over {{x_0}}}(x - {x_o}) + \ln {x_0}\)

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:          

\(\eqalign{
& {1 \over {{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0} \ge \ln x \cr 
& \Leftrightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0 \cr} \) 

Đặt \(t = {x \over {{x_0}}} > 0\)

Xét hàm số \(g(t) = t – \ln t\) với t > 0

\(\eqalign{
& g' = 1 - {1 \over t} = {{t - 1} \over t} \cr 
& g' = 0 \Leftrightarrow y = t = 1 \cr} \) 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(g(t) ≥ 1\) với mọi \(t \in (0, +∞)\)

\( \Rightarrow t - \ln t - 1 \ge 0 \Rightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0\) với mọi \(x > 0\)

Vậy trên \((0; +∞)\) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D)