Câu 24 trang 227 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hyperbol (H) xác định bởi phương trình \(y = {1 \over x}\)

LG a

Tìm phương trình tiếp tuyến (T) của (H) tại tiếp điểm A có hoành độ a (với a ≠ 0)

Lời giải chi tiết:

Với mọi x ≠ 0, ta có : \(f'\left( x \right) =  - {1 \over {{x^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến (T) tại điểm \(A\left( {a;{1 \over a}} \right)\) là :

\(y =  - {1 \over {{a^2}}}\left( {x - a} \right)\,\,hay\,y =  - {1 \over {{a^2}}}x + {2 \over a}\)

LG b

Giả sử (T) cắt trục Ox tại điểm I và cắt trục Oy tại điểm J. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T).

Lời giải chi tiết:

Ta nhận thấy \(I\left( {2a;0} \right);\,J\left( {0;{2 \over a}} \right)\)

Kiểm tra dễ dàng rằng điểm \(A\left( {a;{1 \over a}} \right)\) là trung điểm của đoạn IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T). Đó là đường thẳng IJ.

LG c

Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A.

Lời giải chi tiết:

Diện tích tam giác OIJ là :

\(S = {1 \over 2}\left| {OI} \right|.\left| {OJ} \right| = {1 \over 2}\left| {2a.{2 \over a}} \right| = 2\) (đvdt)

Vì S không phụ thuộc vào a nên diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A ϵ (H)