Bài tập 6 trang 173 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M. N, O lần lượt là trung điểm cùa AD, BC và MN. Qua O vẽ một dường thẳng cắt hai đáy AB và CD tại P và Q. Chứng minh hai tứ giác APQD và BCQP có diện tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Tứ giác APQD có AP // DQ (AB // CD, \(P \in AB,\,\,Q \in CD\))

\( \Rightarrow \) Tứ giác APQD là hình thang

M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC (gt)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình thang ABCD \( \Rightarrow MN//AB//CD\)

Hình thang APQD có AP // MO // DQ

(MN // AB // CD, \(P \in AB,\,\,Q \in CD,\,\,O \in MN\))

Và M là trung điểm của AD

\( \Rightarrow O\) là trung điểm của PQ

Do đó MO là đường trung bình của hình thang APQD \( \Rightarrow MO = {{AP + DQ} \over 2}\)

Kẻ \(AH \bot CD\) tại H

\({S_{APQD}} = {1 \over 2}AH\left( {AP + DQ} \right) \)\(\,= AH.{{AP + DQ} \over 2} = AH.MO\)

Chứng minh tương tự: \({S_{PBCQ}} = AH.ON\)

Mà \(MO = ON\) (O là trung điểm của MN) nên \(S = {S_{PBCQ}}\)