Bài 8 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho hai đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0\) và \({x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0.\) Giả sử chúng cắt nhau ở hai điểm M,N. Viết phương trình đường thẳng MN.

Lời giải chi tiết

* Do hai đường tròn (C₁) : x² + y² + 2a₁x + 2b₁y + c₁ = 0 và (C₂) : x² + y² + 2a₂x + 2b₂y + c₂ = 0 cắt nhau tại hai điểm M, N.

*Do (C₁) và (C₂) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt M và N nên hai đường tròn này không đồng tâm.

=> (a₂ - a₁)² + (b₂ - b₁)² ≠ 0 .

Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

* Lấy (2) trừ (1) vế trừ vế ta được:

2(a₂ – a₁ )x + 2(b₂ – b₁ ).y + (c₂ – c₁ ) = 0 (*)

Do (a₂ - a₁)² + (b₂ - b₁)² ≠ 0 nên (*) là phương trình đường thẳng

Vậy nếu (C₁) và (C₂) cắt nhau tại M, N thì tọa độ M, N thỏa mãn phương trình (*) hay (*) là phương trình đường thẳng MN.

Cách khác:

Hai đường tròn cắt nhau tại M, N thì trục đẳng phương của chúng chính là đường thẳng MN.

Áp dụng bài 7 thì MN có phương trình là

\(MN\,:\,\,2({a_1} - {a_2})x + 2({b_1} - {b_2})y + {c_1} - {c_2} = 0\)