Bài 13 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên Oy và I là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\, \in \,\,\,(P)\)  ta có \(y_o^2 = 2p{x_o}\,({x_o} \ne 0)\).

M’ là hình chiếu của M trên Oy nên \(M'(0\,;\,{y_o})\), khi đó \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\)

\( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {IM}  = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.

IM đi qua \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) nên phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {x_o}.t \hfill \cr 
y = {{{y_o}} \over 2} + {{{y_o}} \over 2}.t \hfill \cr} \right.\)

Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được

\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{{{y_0}}}{2} + \frac{{{y_0}}}{2}t} \right)^2} = 2p{x_0}t\\
\Leftrightarrow \frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = 2p{x_0}t
\end{array}\)

Mà \(2p{x_o} = y_o^2\) nên

\(\frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = y_0^2t \) \(\Leftrightarrow  y_o^2(1 + {t})^2 = 4y_o^2t \Leftrightarrow (1 + {t})^2 = 4t\,\,\) ( do \({y_o} \ne 0\)) 

\( \Leftrightarrow 1 + 2t + {t^2} - 4t = 0 \) \(\Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\) .