Bài 7 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao

LG a

a) Biết đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\) Chứng minh rằng phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) bằng \(x_0^2 + y_0^2 + 2a{x_0} + 2b{y_0} + c.\)

Giải chi tiết:

Đường tròn  (C) có tâm I(-a, -b) ,bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) là

\(\eqalign{
& {\wp _{{M_{{/_{(C)}}}}}} = M{I^2} - {R^2} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= {({x_o} + a)^2} + {({y_o} + b)^2} - ({a^2} + {b^2} - c) \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x_o^2 + y_o^2 + 2a{x_o} + 2b{y_o} + c \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng (gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn).

Giải chi tiết:

Cho hai đường tròn không đồng tâm

\(\eqalign{
({C_1})\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} \cr 
({C_2})\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} \cr} \) 

Gọi \(M({x_0};{y_0})\) là điểm có cùng phương tích đối với \(({C_1})\) và \(({C_2})\)  thì

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,x_o^2 + y_o^2 + 2{a_1}{x_o} + 2{b_1}{y_o} + {c_1} = x_o^2 + y_o^2 \cr&+ 2{a_2}{x_o} + 2{b_2}{y_o} + {c_2} \cr 
& \Leftrightarrow \,\,2({a_1} - {a_2}){x_o} + 2({b_1} - {b_2}){y_o} + {c_1} - {c_2} = 0\,\,\,(1) \cr} \)

Vì \(({C_1})\) và \(({C_2})\) không đồng tâm nên \({a_1} - {a_2}\) và \({b_1} - {b_2}\) không đồng thời bằng 0 ( tức \({({a_1} - {a_2})^2} + {({b_1} - {b_2})^2} \ne 0\))

Do đó \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên đường thẳng có phương trình:

\(\Delta \,\,:\,\,2({a_1} - {a_2})x + 2({b_1} - {b_2})y + {c_1} - {c_2} = 0\)

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng Δ .