Bài 78 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’.

LG a

Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy ABCD).

Lời giải chi tiết:

Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc toa độ là A, Tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’(h.103).

Khi đó

             \(\eqalign{  & A = \left( {0;0;0} \right),B = \left( {1;0;0} \right)  \cr  & D = \left( {0;1;0} \right),A' = \left( {0;0;1} \right)  \cr  & C = \left( {1;1;0} \right),B' = \left( {1;0;1} \right)  \cr  & C' = \left( {1;1;1} \right),D' = \left( {0;1;1} \right). \cr} \)

Suy ra \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {1;0; - 1} \right)\)  

           \(\overrightarrow {B'D}  = \left( { - 1; 1; - 1} \right)\)

          \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'D} } \right] = \left( {1;2;1} \right).\)

          \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {1;0;0} \right)\) 

 \(d\left( {A'B,B'D} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'D} } \right].\overrightarrow {A'B'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'D} } \right]} \right|}} = {1 \over {\sqrt 6 }}.\)

Ta lại có :

\(\eqalign{  &   \cr  & P = \left( {0;{1 \over 2};1} \right),I = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2};0} \right),\cr&\overrightarrow {IP}  = \left( { - {1 \over 2};0;1} \right).  \cr  & \overrightarrow {AC'}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AP}  = \left( {0;{1 \over 2};1} \right) \cr} \)

Suy ra \(d\left( {PI,AC'} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {IP} ,\overrightarrow {AC'} } \right].\overrightarrow {AP} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {IP} ,\overrightarrow {AC'} } \right]} \right|}} = {{\sqrt {14} } \over {28}}.\)

LG b

Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.

Tính góc giữa hai mặt phẳng (PAI) và (DCC’D’).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M = \left( {1;0;{1 \over 2}} \right),N = \left( {{1 \over 2};1;0} \right)\)

                                    \(\eqalign{  &  \Rightarrow \overrightarrow {MP}  = \left( { - 1;{1 \over 2};{1 \over 2}} \right),\overrightarrow {NC'}  = \left( {{1 \over 2};0;1} \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {NC'}  = 0 \Rightarrow MP \bot NC'. \cr} \)

Mặt phẳng (PIA) có vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}; - {1 \over 4}} \right).\)

Mặt phẳng (DCC’D’) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {AD}  = \left( {0;1;0} \right).\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng trên thì          

    \(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {AD} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|}} = {2 \over 3}.\)