Bài 69 trang 133 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau :

LG a

\(\eqalign{\;{d_1}:\left\{ \matrix{  x = 1 + t \hfill \cr  y =  - 1 - t \hfill \cr  z = 1 \hfill \cr}  \right.,{d_2}:\left\{ \matrix{  x = 2 - 3{t'} \hfill \cr  y =  - 2 + 3{t'} \hfill \cr  z = 3{t'}. \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M_o( 1 ; -1 ; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) = (1 ; -1 ; 0). Đường thẳng d₂ đi qua điểm M'_o (2 ; - 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u '}\) = (-1 ; 1 ; 1). Vì \(\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} \) = (1 ; -1 ; -1) = \( - \overrightarrow {u'} \) nên hai đường thẳng đó cắt nhau, do đó khoảng cách giữa chúng bằng 0.

LG b

\(\eqalign{\;{d_1}:{{x - 1} \over 2} = {{y + 3} \over 1} = {{z - 4} \over -2},\cr&\;\;\;\;\;{d_2}:{{x + 2} \over { - 4}} = {{y - 1} \over { - 2}} = {{z + 1} \over 4}} \)

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng song song.

Khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này tới đường thẳng kia.

LG c

\(\eqalign{\;{d_1}:{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {{z - 3} \over 3},\cr&\;\;\;\;\;\;{d_2}:\left\{ \matrix{  x = 2 - t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = t \hfill \cr}  \right.; \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Đường thẳng d₁ đi qua M_ơ( 1 ; 2 ; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) (1 ; 2 ; 3).

Đường thẳng d₂ đi qua M'₀ (2 ; -1 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) (-1 ; 1 ; 1). Khoảng cách giữa d₁ và d₂ là

                  \(d({d_1},{d_2}) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over {13}}.\) 

Cách 2. Gọi (\(\alpha \)) là mặt phẳng chứa d₂ và song song với d₁. Khi đó, (\(\alpha \)) đi qua M'₀ (2 ; - 1 ; 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) = (-1 ; -4 ; 3).

Phương trình của mp(\(\alpha \)) là : x + 4y - 3z + 2 = 0

Vậy \(d({d_1},{d_2}) = d({M_0},(\alpha )) = {{\left| {1 + 4.2 - 3.3 + 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 16 + 9} }} = {{\sqrt {26} } \over {13}}.\)

LG d

\({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x + 3y - 4 = 0\) và \( \left( {\alpha '} \right):y + z - 4 = 0; \)

\( {d_2}:\left\{ \matrix{  x = 1 + 3t \hfill \cr  y = 2 + t \hfill \cr  z =  - 1 + 2t \hfill \cr}  \right. \)

Lời giải chi tiết:

\(d({d_1},{d_2}) = \sqrt {13} .\)