Bài 50 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

LG a

\(sinA = cosB + cosC\) thì ΔABC vuông

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A + B + C = {180^0}\)

\( \Rightarrow \cos \frac{{B + C}}{2} = \cos \frac{{{{180}^0} - A}}{2}\) \(  = \cos \left( {{{90}^0} - \frac{A}{2}} \right) = \sin \frac{A}{2}\)

Khi đó:

\(\eqalign{
& sin A = cosB + cosC\cr& \Rightarrow 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}(cos{A \over 2} - \cos {{B - C} \over 2}) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2}\cr &(\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ) \cr} \)

Nhưng: \(0 < {A \over 2} < {\pi  \over 2};|{{B - C} \over 2}|\, < {\pi  \over 2}\) , nên:

\(\cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B - C} \over 2}|\)

\(\Leftrightarrow A = |B - C|\)

+ Nếu B > C thì A = B – C.

\( \Rightarrow B = A + C \Rightarrow A + B + C = {180^0} \) \(\Leftrightarrow 2B = {180^0} \Rightarrow B = {90^0}\)

+ Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: \(C = 90^0\).

LG b

\(sinA = 2sinB.cosC\) thì ΔABC cân

Lời giải chi tiết:

\(sinA = 2sinB.cosC \)

\(⇔ sin A = sin (B + C) + sin (B – C)\)

\(⇔ sin A = sin(180^0 – A) + sin(B – C) \)

\( \Leftrightarrow \sin A = \sin A + \sin \left( {B - C} \right)\)

\(⇔ sin(B – C) = 0\)

Vì \(0 ≤ |B – C| ≤ π\), nên \(B – C = 0\)\( \Leftrightarrow B = C\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.