Bài 39 trang 213 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Sử dụng  75⁰ = 45⁰ + 30^o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 75⁰

Sử dụng 15^o = 45^o - 30^o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 15⁰. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)

Lời giải chi tiết

+) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {75^0} = \cos ({45^0} + {30^0}) \cr&= \cos {45^0}\cos {30^0} - \sin {45^0}\sin {30^0} \cr 
& = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}\cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 - 1) \cr 
& \sin {75^0} = \sin ({45^0} + {30^0}) \cr&= \sin {45^0}\cos {30^0} + \cos {45^0}\sin {30^0} \cr 
& = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}\cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 + 1) \cr 
& \tan{75^0} = {{\sqrt 3 + 1} \over {\sqrt 3 - 1}} = 2 + \sqrt 3 \cr 
& \cot {75^0}  = \frac{1}{{\tan {{75}^0}}} = 2 - \sqrt 3 \cr} \)

+) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {15^0} = \cos ({45^0} - {30^0})\cr& = \cos {45^0}\cos {30^0} + \sin {45^0}\sin {30^0} \cr 
& = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}\cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}) \cr &= {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 + 1)\,( = \sin{75^0}) \cr 
& \sin {15^0} = \sin ({45^0} - {30^0}) \cr&= \sin {45^0}\cos {30^0} + \cos {45^0}\sin {30^0} \cr 
& = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}\cr &= {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}) \cr &= {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 - 1) = (\cos{75^0}) \cr 
& \tan {15^0} = {{\sqrt 3 - 1} \over {\sqrt 3 + 1}} = 2 - \sqrt 3 \cr &\left( { = \cot {{75}^0}} \right) \cr 
& \cot {15^0}  = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }}= 2 + \sqrt 3 \cr} \)