Bài 4 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

LG a

y = x² + 2x – 2 trên mỗi khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1, +∞)\)

Phương pháp giải:

Hàm số f đồng biến trêm K khi và chỉ khi 

\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0\)

Hàm số f nghịch biến trêm K khi và chỉ khi 

\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Lời giải chi tiết:

+ Với mọi x₁; x₂ ∈  \((-∞; -1)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² + 2x₂ – 2 – (x₁² + 2x₁ – 2)

 = x₂² – x₁² + 2(x₂ – x₁) = (x₂ – x₁)(x₁ + x₂ + 2)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)

Vì x₁; x₂ ∈  \((-∞; -1)\) nên x₁ < -1 và x₂ < -1 nên x₁ + x₂ + 2 < 0

Nên \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số y = x² + 2x – 2 nghịch biến trên \((-∞; -1)\)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-1, +∞)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\)

(Vì x₁; x₂ ∈  \((-1;+∞)\) nên x₁ > -1; x₂ > -1)

Vậy hàm số y =  x² + 2x – 2 đồng biến trên \((-1, +∞)\)

Bảng biến thiên:

LG b

\(y = -2x^2 + 4x + 1 \) trên mỗi khoảng \((-∞; 1)\) và \((1, +∞)\)

Lời giải chi tiết:

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-∞; 1)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = (-2x₂² + 4x₂ + 1) – (-2x₁² + 4x₁ + 1)

= -2(x₂² - x₁²) + 4(x₂ - x₁)

\(=  - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\)

\(= 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( { - {x_2} - {x_1} + 2} \right)\)

\( = {\rm{ }}2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \) \(=2\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)

Vì x₁ < 1 và x₂ < 1 nên \({x_1} + {x_2} < 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) > 0\)

Vậy hàm số \(y = -2x^2+ 4x + 1\) đồng biến trên khoảng \((-∞; 1)\)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((1; +∞)\) thì x₁ > 1 và x₂ > 1 và x₁ ≠ x₂ ta có:

\({x_1} + {x_2} > 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) < 0\)

Do đó \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \)\(=2\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\) < 0

Vậy hàm số \(y = -2x^2 + 4x + 1\) nghịch biến trên khoảng \((1; +∞)\)

Bảng biến thiên:

LG c

\(y = {2 \over {x - 3}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3, +∞)\)

Lời giải chi tiết:

+ Với x₁, x₂ ∈ \((- ∞; 3)\) với x₁ ≠ x₂ ta có:

\(\eqalign{
& f({x_2}) - f({x_1}) = {2 \over {{x_2} - 3}} - {2 \over {{x_1} - 3}} \cr 
& = {{2({x_1} - 3) - 2({x_2} - 3)} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr&= {{2({x_1} - {x_2})} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr 
& \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr} \)

(vì x₁ < 3; x₂ < 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}}<0\)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\)  nghịch biến trên \((- ∞; 3)\)

+ Với x₁, x₂ ∈ \((3; +∞)\) với x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} < 0\)

(vì x₁ > 3; x₂ > 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((3; + ∞)\)

Bảng biến thiên: