Bài 28 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) (\(AB // CD\)), \(E\) là trung điểm của \(AD,\) \(F\) là trung điểm của \(BC.\) Đường thẳng \(EF\) cắt \(BD\) ở \(I,\) cắt \(AC\) ở \(K.\)

a) Chứng minh rằng \(AK = KC, BI = ID.\)

b) Cho \(AB = 6\,cm, CD = 10\,cm.\) Tính các độ dài \(EI, KF, IK.\)

Lời giải chi tiết

a) Hình thang \(ABCD\) có \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  EF\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang )

\( \Rightarrow EF // AB // CD\) (tính chất đường trung bình của hình thang) 

\( \Rightarrow FK//AB, EI//AB\)

Xét \(∆ABC\) có: \(F\) là trung điểm của \(BC\) (giả thiết) và \(FK // AB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  AK = KC\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba )

Xét \(∆ABD\) có: \(E\) là trung điểm của \(AD\) (giả thiết) và \(EI // AB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  DI = IB\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ).        

b) Vì \(EF\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) (chứng minh trên)

nên \(EF = \dfrac{AB+CD}{2} = \dfrac{6+10}{2} = 8\,cm\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

Xét \(∆ABD\) có: \(AE = ED\) (giả thiết) và \(DI = IB\) (chứng minh trên)

 \( \Rightarrow  EI\) là đường trung bình của \(∆ABD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của  tam giác)

 \( \Rightarrow  EI = \dfrac{1}{2}.AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\; (cm)\) (tính chất đường trung bình của  tam giác)

Xét \(∆ABC\) có: \(BF = FC\) (giả thiết) và \(AK = KC\) (chứng minh trên)

 \( \Rightarrow  KF\) là đường trung bình của \( ∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của  tam giác)

 \( \Rightarrow  KF = \dfrac{1}{2}.AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\; (cm)\) (tính chất đường trung bình của  tam giác)

Lại có \(EF = EI + IK + KF\)

nên \(IK = EF - (EI + KF) = 8 - (3 + 3)\)\(\, = 2 \;(cm).\)