Bài 1.22 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình


Đề bài

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

                                                      \(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\)

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

\(\cos x = m\;\; \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x =  - \alpha  + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Lời giải chi tiết

Vật đi qua vị trí cân bằng thì x = 0

Khi đó

 \(\begin{array}{l}2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5t - \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\5t =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\t =  - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.;k \in Z\end{array}\)

Với \(t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\) và \(t \in \left( {0;6} \right)\) thì

 \(\begin{array}{l}0 < \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5} < 6;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < 2\pi  + k2\pi  < 90;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < 1 + k < 14,32;k \in Z\\ \Rightarrow  - 1 < k < 13,32;k \in Z\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\};k \in Z\end{array}\)

Với \(t =  - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\) và \(t \in \left( {0;6} \right)\) thì

 \(\begin{array}{l}0 <  - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5} < 6;k \in Z\\ \Rightarrow 0 <  - \pi  + k2\pi  < 90;k \in Z\\ \Rightarrow 0 <  - 0,5 + k < 14,32;k \in Z\\ \Rightarrow 0,5 < k < 14,82;k \in Z\\ \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14} \right\};k \in Z\end{array}\)

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 28 lần.



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến