Bài 1 trang 132 SGK Đại số và Giải tích 11

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

LG a

\(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\dfrac{x+1}{3x - 2}\);

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của định nghĩa 1 và định nghĩa 3 SGK.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f(x) = \dfrac{x +1}{3x - 2}\) xác định trên \(D=\mathbb R\backslash \left\{ {{2 \over 3}} \right\}\) và ta có \(x = 4 \in D\)

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n ∈ D\); \(x_n≠ 4\) và \(x_n→ 4\) khi \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {x_n} = 4\)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \dfrac{x_{n} +1}{3x_{n} - 2} \) \( = \dfrac{{\lim {x_n} + 1}}{{3\lim {x_n} - 2}}\) \(= \dfrac{4 + 1}{3. 4 - 2} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\) \(\dfrac{x +1}{3x - 2}\) = \(\dfrac{1}{2}\).

LG b

\(\underset{x \rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của định nghĩa 1 và định nghĩa 3 SGK.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f(x)\) = \(\dfrac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\) xác định trên \(\mathbb R\).

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n→ +∞\) khi \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {x_n} =  + \infty \)

\( \Rightarrow \lim \dfrac{1}{{x_n^2}} = 0\)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \dfrac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}\) \(= \lim \dfrac{{x_n^2\left( {\dfrac{2}{{x_n^2}} - 5} \right)}}{{x_n^2\left( {1 + \dfrac{3}{{x_n^2}}} \right)}}\) \(= \lim \dfrac{\dfrac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\dfrac{3}{x^{2}_{n}}} \) \( = \dfrac{{\lim \dfrac{2}{{x_n^2}} - 5}}{{1 + \lim \dfrac{3}{{x_n^2}}}} = \dfrac{{0 - 5}}{{1 + 0}}\) \(= -5\)

Vậy \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\) \(\dfrac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5\).