1.1. Đại số

a) Hằng đẳng thức

( A + B )² = A² + 2AB + B²

( A - B )² = A² - 2AB + B²

A² - B² = ( A - B )( A + B ).

( A + B )³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

( A - B )³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³.

A³ + B³ = ( A + B )( A² - AB + B² )

A³ - B³ = ( A - B )( A² + AB + B² ).

b) Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhân tử chung

+ Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

+ Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức.

+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

+ Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

+ Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.

+ Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều cách

Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết:

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng

⇒ Để phân tích đa thức thành nhân tử.

c) Nhân, chia đa thức

Công thức nhân đơn thức với đa thức

Cho A, B, C, D là các đơn thức ta có: A( B + C - D ) = AB + AC - AD.

Công thức nhân đa thức với đa thức

Cho A, B, C, D là các đa thức ta có:

( A + B ).( C + D ) = A.( C + D ) + B.( C + D ) = AC + AD + BC + BD.

Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh

Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B.Q + R, với R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R≠0, ta được phép chia có dư.

d) Cộng, trừ đa thức

- Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp tương tự như phép cộng các số.

- Với A, B, C là những đa thức tùy ý, ta có: A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C);

Nếu A – B = C thì A = B + C; ngược lại, nếu A = B + C thì A – B = C.

e) Tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

(M là một đa thức khác đa thức không).

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

(N là nhân tử chung).

f) Rút gọn phân thức đại số

- Cách rút gọn một phân thức: Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.

- Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

1.2. Hình học

Tứ giác, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

- Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

- Tổng các góc của một tứ giác bằng .

- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

+ Hai cạnh song song gọi là hai đáy.

+ Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

- Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành và cũng là hình thang cân

- Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hình thoi cũng là một hình bình hành.

- Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

2. Đề thi minh hoạ

1. Trắc nghiệm (4đ)

Câu 1: x² – 2 xy + y² bằng:

A) x 2 + y 2 B) (x - y) 2 C) y 2 – x 2 D) x 2 – y 2

Câu 2: (4x + 2)(4x – 2) bằng:

A) 4x² + 4 B) 4x² – 4 C) 16x² + 4 D) 16x² – 4

Câu 3. Có mấy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử?

A. 2 B. 3 C. 4 D. Nhiều hơn 4 phương pháp

Câu 4: Phân tích đa thức 7x – 14 thành nhân tử, ta được:

A) 7(x - 7) B) 7(x - 14) C) 7(x - 2) D) 7(x + 2)

Câu 5: Kết quả phép chia bằng:

A) B) 5x C) D)

Câu 6: Đơn thức 9x²y³z chia hết cho đơn thức nào sau đây:

A) 3x³yz B) 4xy²z² C) - 5xy² D) 3xyz²

Câu 7: Tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng:

A. 90⁰ B. 180⁰ C. 270⁰ D. 360⁰

Câu 8: Tứ giác có hai cạnh đối song song và hai đường chéo bằng nhau là:

A. Hình thang cân B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Hình thoi

Câu 9: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là:

A. Hình chữ nhật; B. Hình thoi; C. Hình vuông; D. Hình thang

Câu 10: Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình:

A. Hình bình hành; B. Hình thoi; C. Hình vuông; D. Hình thang

Câu 11: Đường trung bình của tam giác thì :

A.Song song với các cạnh

2. Bằng nửa cạnh ấy

C. Song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba

D. Bằng nửa tổng hai cạnh của tam giác.

Câu 12: Mỗi hình thang cân có:

A.Một đường trung bình

3. Hai đường trung bình

C. Ba đường trung bình

D. Bốn đường trung bình

Câu 13: Thực hiện phép nhân x(x + 2) ta được:

A) B) C) 2x + 2 D)

Câu 14: Giá trị của biểu thức (x² + 4x + 4) tại x = - 2 là:

A) - 16 B) 0 C) - 14 D) 2

Câu 15: Một tam giác có cạnh đáy bằng 12cm. Độ dài đường trung bình của tam giác đó là đó là:

A. 3 cm B. 4 cm C.6 cm D. 8 cm

Câu 16: Độ dài hai đáy của một hình thang lần lượt là 3cm và 7cm, thì độ dài đường trung bình của hình thang đó bằng:

A. 10 cm B. 5cm C. 4cm D. 2cm