Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 là tài liệu do Tìm Đáp Án sưu tầm và giới thiệu cho các bạn học sinh và thầy cô nghiên cứu, học tập tốt môn Toán 9 cũng như luyện tập nhằm chuẩn bị tốt nhất cho các kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn tham khảo.

Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
3. Tại sao phải tìm ∆?
4. Các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Tài liệu sẽ đưa ra công thức delta và delta phẩy cho các bạn học sinh, đồng thời cũng sẽ giải thích lý do chúng ta phải tính biệt thức delta này. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về phương trình bậc hai và cách vận dụng vào giải các bài Toán lớp 9.

Thông thường đối với một học sinh lớp 9, khi hỏi cách tính phương trình bậc 2, các bạn học sinh sẽ trả lời là: “Ta đi tính $Δ$ , rồi từ đó phụ thuộc vào Δ mà ta có cách tính cụ thể cho từng nghiệm”. Vậy tại sao phải tính $Δ$ , đa phần các bạn học sinh sẽ không trả lời được, bởi vậy phần dưới đây sẽ trả lời câu hỏi đó!

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

$ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0$

Trong đó a ≠0, a, b là hệ số, c là hằng số.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính: $Δ = b^2 - 4ac$

Nếu $Δ >0$ thì phương trình $ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0$ có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\ +\sqrt{\triangle}}{2a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle}}{2a}$

Nếu $Δ\ =0$ thì phương trình $ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0$ có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

Nếu $Δ\ <0$ thì phương trình $ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0$ vô nghiệm:

+ Tính : $\ Δ'=b'^2-ac;\ b'=\frac{b}{2}$

Nếu $Δ' >0$ thì phương trình $ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0$ có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'\ +\sqrt{\triangle'}}{a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle'}}{a}$

Nếu $Δ'=0$ thì phương trình $ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0$ có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b'}{a}$

Nếu $Δ'<0$ thì phương trình $ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0$ vô nghiệm.

3. Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:

$ax^2\ +bx\ +\ c\ =\ 0$

$⇔\ a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\ =0$

$⇔\ a\left[x^2\ +2.\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\ -\ \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c\ =\ 0$

$⇔\ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ -\frac{b^2}{4a}+c=0$

$\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2}{4a}-c$

$\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2-4ac}{4a}$

$\Leftrightarrow 4a^2.\left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = b^2-4ac (1)$

Vế phải chính là $\triangle$ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Và do vế trái của đẳng thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên chúng ta mới phải biện luận nghiệm của $b^2-4ac$ .

+ Với $b^2-4ac<0$ , vì vế trái lớn hơn bằng 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với $b^2-4ac=0$ , phương trình trên trở thành:

$4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}$

Phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ .

+ Với $b^2-4ac>0$ , phương trình trên trở thành:

$4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right ) ^2= b^2-4ac$

$\Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \\ 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = - \sqrt {{b^2} - 4ac} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x + \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$x_1 = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ và $x_2 = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng $b^2-4ac$ là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt $\triangle =b^2-4ac$ nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

4. Các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Bài 1: Giải các phương trình dưới đây:

a, $x^2-5x+4=0$	b, $6x^2+x+5=0$
c, $16x^2-40x+25=0$	d, $x^2-10x+21=0$
e, $x^2-2x-8=0$	f, $4x^2-5x+1=0$
g, $x^2+3x+16=0$	h, $2x^2+2x+1=0$

Lời giải:

a, $x^2-5x+4=0$

Ta có: $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4.1.4=25-16=9>0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4$ và $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S={1;4}$

b, $6x^2+x+5=0$

Ta có: $\Delta=b^2-4ac=1^2-4.6.5=1-120=-119<0$

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm

c, $16x^2-40x+25=0$

Ta có: $\Delta'=b'^2-ac=(-20)^2-16.25=400-400=0$

Phương trình đã cho có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b'}{a}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left \{ \frac{5}{4} \right \}$

d, $x^2-10x+21=0$

Ta có: $\Delta'=b'^2-ac=(-5)^2-1.21=25-21=4>0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5+2}{1}=-3$ và $x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5-2}{1}=-7$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-7; -3}

e, $x^2-2x-8=0$

Ta có: $\Delta'=b'^2-ac=(-1)^2-1.(-8)=1+8=9>0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a} =\frac{1+3}{1}=4$ và $x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{1-3}{1}=-2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}

f, $4x^2-5x+1=0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$ và $x_2=\frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left \{ \frac{1}{4};1 \right \}$

g, $x^2+3x+16=0$

Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

h, $2x^2+2x+1=0$

Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Cho phương trình $x^2-6x+m^2-4m=0$ (1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

$1^2-6.1+m^2-4m=0 \Leftrightarrow m^2-4m-5=0$ (2)

Xét phương trình (2)

Có $\Delta'=b'^2-ac=(-2)^2-1.(-5)=9>0$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $m_1=5$ và $m_2=-1$

Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét phương trình (1) có:

$\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi $\Delta'=0$

$\Leftrightarrow -m^2+4m+9=0$ (2)

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có $m=2\pm \sqrt{13}$

Vậy với $m=2\pm\sqrt{13}$ thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét phương trình (1) có:

$\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta'>0$

$\Leftrightarrow -m^2+4m+9>0$

$\Leftrightarrow 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}$

Vậy với $2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Trên đây TimDapAnđã chia sẻ tới các bạn bài Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh nắm chắc Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Ngoài ra để có thể ôn tập hiệu quả nhất môn Toán 9 chuẩn bị thi vào lớp 10, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm tài liệu Các dạng Toán thi vào 10

Bộ đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2020
Chuyên đề Phương trình bậc hai chứa tham số Toán 9 (Có đáp án)
Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 (Có đáp án)
Tổng hợp các dạng Toán ôn thi vào 10 - Phần 1: Đại số

hay tham khảo thêm các Bộ đề thi thử vào lớp 10 qua các năm được TimDapAntổng hợp, như:

-------------------

Ngoài Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 Toán 9, đề cương ôn tập môn Toán 9 học kì 2,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Nếu bạn không thấy đề thi được hiển thị. Vui lòng tải về để xem. Nếu thấy hay thì các bạn đừng quên chia sẻ cho bạn bè nhé!

Tải về