Đề thi học kì 1 môn toán lớp 7 năm 2019 - 2020 phòng GDĐT Đống Đa

Bài 1 : (2 điểm) Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể):

a) \(\dfrac{{11}}{9}.\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{9}.\dfrac{3}{4}\)

b) \(\dfrac{{ - 5}}{4} + \dfrac{3}{7}.\dfrac{{21}}{8}\)

c) \({\left( {2019} \right)^0}.\sqrt {\dfrac{{25}}{9}}  + 3.\left| { - 0,25} \right|\)

Bài 2 : (2 điểm) Tìm \(x\) biết:

a) \(\dfrac{1}{6} + x = \dfrac{5}{{12}}\)

b) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\)

c) \({\left( {x - 1} \right)^3} = \dfrac{1}{8}\)

Bài 3 : (2 điểm)

Tại “Ngày hội đọc sách” của trường, ba lớp 7A, 7B, 7C chuẩn bị một số sách truyện để giới thiệu, trưng bày. Biết số quyển sách truyện của ba lớp lần lượt tỉ lệ với \(3:5:7.\) Tính số quyển sách của mỗi lớp biết lớp 7A chuẩn bị ít hơn lớp 7C là 28 quyển.

Bài 4 : (3,5 điểm)

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {D \in AC} \right).\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD\)

b) Chứng minh: \(DE = AD\) và \(DE\) vuông góc với \(BC.\)

c) Chứng minh: \(BD\) là đường trung trực của đoạn \(AE.\)

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho \(AF = CE.\) Chứng minh ba điểm \(F,D,E\) thẳng hàng.

Bài 5 : (0,5 điểm)

Cho \(\dfrac{{4x - 3y}}{5} = \dfrac{{5y - 4z}}{3} = \dfrac{{3z - 5x}}{4}\) và \(x - y + z = 2020.\) Tìm \(x,y,z.\)

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TIMDAPAN.COM

Bài 1 (VD):

Phương pháp

a) Sử dụng : \(a.b - a.c = a.\left( {b - c} \right)\)

b) Rút gọn các phân số, qui đồng mẫu các phân số rồi cộng trừ

c) Tính lũy thừa, căn bậc hai và giá trị tuyệt đối rồi thực hiện nhân chia trước, cộng trừ sau.

Cách giải:

a) \(\dfrac{{11}}{9}.\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{9}.\dfrac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{3}{4}.\left( {\dfrac{{11}}{9} - \dfrac{2}{9}} \right)\\ = \dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{9}\\ = \dfrac{3}{4}.1\\ = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

b) \(\dfrac{{ - 5}}{4} + \dfrac{3}{7}.\dfrac{{21}}{8}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{ - 5}}{4} + \dfrac{{3.3.7}}{{7.8}}\\ = \dfrac{{ - 5}}{4} + \dfrac{9}{8}\\ = \dfrac{{ - 10}}{8} + \dfrac{9}{8}\\ = \dfrac{{ - 1}}{8}\end{array}\)

c) \({\left( {2019} \right)^0}.\sqrt {\dfrac{{25}}{9}}  + 3.\left| { - 0,25} \right|\)

\(\begin{array}{l} = 1.\dfrac{5}{3} + 3.0,25\\ = \dfrac{5}{3} + 3.\dfrac{1}{4}\\ = \dfrac{{20 + 9}}{{12}} = \dfrac{{29}}{{12}}\end{array}\)

Bài 2 (VD):

Phương pháp

Thực hiện qui tắc chuyển vế đưa về dạng tìm \(x\) quen thuộc.

Lưu ý : \({x^3} = {a^3} \Rightarrow x = a.\)

Cách giải:

a) \(\dfrac{1}{6} + x = \dfrac{5}{{12}}\)

\(\begin{array}{l}x = \dfrac{5}{{12}} - \dfrac{1}{6}\\x = \dfrac{5}{{12}} - \dfrac{2}{{12}}\\x = \dfrac{3}{{12}}\\x = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

b) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}x =  - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\\\dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 2 - 3}}{4}\\\dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 5}}{4}\\x =  - 5\end{array}\)

c) \({\left( {x - 1} \right)^3} = \dfrac{1}{8}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3}\\x - 1 = \dfrac{1}{2}\\x = 1 + \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{2 + 1}}{2}\\x = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Bài 3 (VD):

Phương pháp

Gọi số sách của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(x,y,z\left( {x,y,z \in {N^*}} \right)\)

Ta suy ra \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\) và \(z - x = 28.\)

Từ đó sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính \(x,y,z.\)

Cách giải:

Gọi số sách của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(x,y,z\left( {x,y,z \in {N^*}} \right)\)

Vì số quyển sách truyện của ba lớp lần lượt tỉ lệ với \(3:5:7\) nên  \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\)

Vì lớp 7A chuẩn bị ít hơn lớp 7C là 28 quyển nên \(z - x = 28.\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\)\( = \dfrac{{z - x}}{{7 - 3}} = \dfrac{{28}}{4} = 7\)

Suy ra \(x = 7.3 = 21\)

\(y = 7.5 = 35\)

\(z = 7.7 = 49\)

Vậy số sách của ba lớp 7A, 7B, 7C chuẩn bị lần lượt là \(21\) quyển, 35 quyển, 49 quyển.

Bài 4 (VD):

Phương pháp

Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh và tính chất hai tam giác bằng nhau.

Đường trung trực của đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

Cách giải:

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {D \in AC} \right).\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD\)

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(EBD\) có:

+) \(AB = BE\left( {gt} \right)\)

+) \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là phân giác \(\widehat {ABD}\))

+) Cạnh \(BD\) chung

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta EBD\left( {c - g - c} \right)\)

b) Chứng minh: \(DE = AD\) và \(DE\) vuông góc với \(BC.\)

Theo câu a) ta có \(\Delta ABD = \Delta EBD\left( {c - g - c} \right)\)

Nên \(DE = AD\)(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = {90^0}\) (hai góc tương ứng)

Do đó: \(DE \bot BC.\)

c) Chứng minh: \(BD\) là đường trung trực của đoạn \(AE.\)

 Gọi  I là giao điểm của BD và AE.

Xét tam giác \(ABI\) và tam giác \(EBI\) có:

+) \(AB = BE\left( {gt} \right)\)

+) \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là phân giác \(\widehat {ABD}\))

+) Cạnh \(BI\) chung

Suy ra \(\Delta ABI = \Delta EBI\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow IA = IE,\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)

Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = \dfrac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\)

Hay \(BI \bot AE\)

Từ đó ta có \(BD \bot AE\) tại \(I\) và \(I\) là trung điểm \(AE.\)

Suy ra \(BD\) là  đường trung trực của đoạn \(AE.\)

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho \(AF = CE.\) Chứng minh ba điểm \(F,D,E\) thẳng hàng.

Theo câu b) ta có \(AD = DE\)

Xét tam giác \(ADF\) và tam giác \(EDC\) có:

+) \(AD = DE\left( {cmt} \right)\)

+) \(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = {90^0}\)

+) \(AF = CE\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\Delta ADF = \Delta EDC\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ADF} = \widehat {CDF}\)  mà \(A,D,C\) thằng hàng nên suy ra \(F,D,E\) thẳng hàng.

Bài 5 (VD):

Phương pháp

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính toán

Cách giải:

Ta có :

\(\dfrac{{4x - 3y}}{5} = \dfrac{{5y - 4z}}{3} = \dfrac{{3z - 5x}}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{5\left( {4x - 3y} \right)}}{{5.5}} = \dfrac{{3\left( {5y - 4z} \right)}}{{3.3}}\) \( = \dfrac{{4\left( {3z - 5x} \right)}}{{4.4}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{20x - 15y}}{{25}} = \dfrac{{15y - 12z}}{9}\) \( = \dfrac{{12z - 20x}}{{16}}\)

\( = \dfrac{{20x - 15y + 15y - 12z + 12z - 20x}}{{25 + 9 + 16}}\) \( = 0\)

Suy ra  \(20x - 15y = 0 \Rightarrow 20x = 15y\) \( \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}\)

\(15y - 12z = 0\) \( \Rightarrow 15y = 12z\)\( \Rightarrow \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\)

Suy ra \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) \( = \dfrac{{x - y + z}}{{3 - 4 + 5}}\) \( = \dfrac{{2020}}{4} = 505\)

Suy ra \(x = 505.3 = 1515\)

\(y = 505.4 = 2020\)

\(z = 505.5 = 2525\)

Vậy \(x = 1515,y = 2020,\) \(z = 2525.\)

Hết