Đề thi học kì 1 môn toán lớp 7 năm 2019 - 2020 phòng GDĐT Bình Xuyên

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3 điểm).

Câu 1. Kết quả của phép tính \(\dfrac{{ - 1}}{4} - \dfrac{3}{{ - 8}}\) là bao nhiêu ?

A. \(\dfrac{{ - 5}}{8} \cdot \)                          B. \(\dfrac{{ - 1}}{8} \cdot \)

C. \(\dfrac{{ - 1}}{3} \cdot \)                           D. \(\dfrac{1}{8} \cdot \)

Câu 2. Giá trị của \(x\) thỏa mãn đẳng thức \({2^x} = {\left( {{2^2}} \right)^3}\) là

A. \(5.\)                                B. \(6.\)

C. \({2^6}.\)                              D. \(8.\)

Câu 3. Giá trị của \(x\) thỏa mãn tỉ lệ thức \(\dfrac{x}{{16}} = \dfrac{3}{8}\) là

A. \(6.\)                                B. \( - 6.\)                             

C. \(2.\)                                  D. \(3.\)

Câu 4. Cho \(\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{{2a - 3b}}{?} \cdot \) Biểu thức cần điền vào dấu “ ? ” là biểu thức nào sau đây ?

A. \(2m + 3n.\)                     B. \(2m - 3n.\) 

C. \(2n + 3m.\)                     D. \(2n - 3m.\)

Câu 5. Viết số \(5,\left( 3 \right)\) dưới dạng phân số tối giản, ta được kết quả là

A. \(\dfrac{5}{3} \cdot \)                                   B. \(\dfrac{8}{3} \cdot \) 

C. \(\dfrac{{16}}{3} \cdot \)                                  D. \(\dfrac{{53}}{{10}} \cdot \)

Câu 6. Làm tròn số \(2,345\) đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy ta được kết quả là bao nhiêu ?

A. \(2,34.\)                          B. \(2,35.\)

C. \(2,30.\)                           D. \(2,4.\)

Câu 7. Đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\) (\(k\) là hằng số khác \(0\)) nếu

A. \(y = kx.\)                                  B. \(y = \dfrac{k}{x} \cdot \)

C. \(y = \dfrac{x}{k} \cdot \)                                D. \(y = \dfrac{1}{{kx}} \cdot \)

Câu 8. Công thức nào sau đây cho ta quan hệ tỉ lệ nghịch giữa \(x\) và \(y?\)

A. \(5y = 3x.\)                            B. \(y =  - 2x.\)

C. \(xy = 2019\)                         D. \(x + y = 2020.\)

Câu 9. Đường thẳng \(xx'\) cắt đường thẳng \(yy'\) tại \(O,\) biết \(\widehat {xOy'} = 50^\circ ,\) số đo góc \(x'Oy\) bằng bao nhiêu ?

A. \(140^\circ .\)                            B. \(130^\circ .\) 

C. \(40^\circ .\)                                D.\(50^\circ .\)

Câu 10. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng sẽ

A. song song với nhau

B. vuông góc với nhau

C. trùng nhau

D. cắt nhau.

Câu 11. Tổng các góc ngoài của một tam giác bằng bao nhiêu độ ?

A. \(90^\circ .\)                              B. \(180^\circ .\)

C. \(360^\circ .\)                             D. \(270^\circ .\)

Câu 12. Cho \(\Delta ABC = \Delta MNP\) và \(AC = 5cm.\)  Cạnh nào của tam giác \(MNP\) có độ dài bằng \(5cm?\)

A. \(PN.\)                             B. \(MN.\)

C. \(PM.\)                             D. \(AM.\)

PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm).

Câu 13: (1 điểm) Thực hiện phép tính

a) \(A = \dfrac{{ - 5}}{3} \cdot \dfrac{3}{{11}} + \dfrac{{ - 13}}{{18}} \cdot \dfrac{3}{{11}}\)

b) \(B = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{30}}{{.15}^5}}}{{{{25}^7}.{{\left( { - 9} \right)}^2}}}\)

Câu 14: (1,5 điểm) a)  Lập tất cả các tỉ lệ thức từ đẳng thức \(13.18 = 9.26\).

b) Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d},\) chứng minh rằng \(\dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}} \cdot \)

c) Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}\) và \(x - 2y + 3z =  - 33.\) Tìm giá trị của \(x,y,z.\)

Câu 15: (0,5 điểm) Người ta chia số \(520\) thành \(3\) phần \(a,b,c\) tỉ lệ nghịch với \(2,3,4.\) Tìm \(a,b,c.\)

Câu 16: (1,5 điểm) a) Cho hình vẽ. Biết \(Bx//Oz,\,Oz//Ny\) và \(\widehat {xBO} = 130^\circ ,\widehat {ONy} = 140^\circ .\) Tính \(\widehat {NOB}.\)

b) Cho \(5\) đường thẳng phân biệt sao cho không có \(2\) đường thẳng nào song song. Chứng minh tồn tại một cặp đường thẳng tạo với nhau một góc không quá \(36^\circ .\)

Câu 17: (2 điểm) Cho tam giác \(ABC,\) gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Trên tia \(AM\) lấy điểm \(E\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AE.\)

a)      Chứng minh \(AB = CE\) và \(AB//CE.\)

b)      Trên đoạn thẳng \(AB\) lấy điểm \(I\) và trên đoạn thẳng \(CE\) lấy điểm \(K\) sao cho \(AI = EK\). Chứng minh rằng ba điểm \(I,M,K\) thẳng hàng.

Câu 18: (0,5 điểm) Tìm hai số khác \(0\) biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với \(5,1,12.\)

HẾT

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

- Viết phân số thứ hai thành phân số có mẫu số dương

- Tìm mẫu số chung.

- Thực hiện phép tính với tử, giữ nguyên mẫu chung rồi chọn đáp án đúng.

Cách giải:

\(\dfrac{{ - 1}}{4} - \dfrac{3}{{ - 8}} = \dfrac{{ - 1}}{4} - \dfrac{{ - 3}}{8} \)\(= \dfrac{{ - 2 + 3}}{8} = \dfrac{1}{8}\)

Chọn D.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\) để tìm giá trị của \(x.\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{2^x} = {\left( {{2^2}} \right)^3}\\{2^x} = {2^{2.3}} = {2^6}\\x = 6\end{array}\)

Chọn B.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Áp  dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{16}} = \dfrac{3}{8}\\x.8 = 16.3\\x = \dfrac{{16.3}}{8}\end{array}\)

\(x = 6.\) 

Chọn A.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \pm c}}{{b \pm d}}\)

Cách giải:

Vì \(\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} \Rightarrow \dfrac{{2a}}{{2m}} = \dfrac{{3b}}{{3n}} = \dfrac{{2a - 3b}}{{2m - 3n}}\)

Vậy \(? = 2m - 3n.\)

Chọn B.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức : \(\dfrac{1}{9} = 0,\left( 1 \right);\,\dfrac{1}{{99}} = 0,\left( {01} \right);\)\(\dfrac{1}{{999}} = 0,\left( {001} \right)\)

Cách giải:

\(5,\left( 3 \right) = 5 + 3.0,\left( 1 \right) = 5 + 3 \cdot \dfrac{1}{9} \)\(= 5 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{{16}}{3}\)

Chọn C.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc làm tròn số:

- Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại.

- Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại.

 Cách giải:

Số \(2,345\) có chữ số cần bỏ đi bằng 5 nên khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy ta được số \(2,35.\)

Chọn B.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Nhẩm lại định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ thuận đã học.

Cách giải:

Đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\) (\(k\) là hằng số khác \(0\)) thì \(y = kx\).

Chọn A.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Nhẩm lại khái niệm hai đại lượng tỉ lệ nghịch đã học : Hai đại lượng tỉ lệ nghịch  \(x\)  và \(y\) liên hệ với nhau bởi công thức \(y = \dfrac{a}{x}\)  hay \(xy = a\)  (với \(a\)  là một số khác \(0\)) thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\).

 Cách giải:

Đáp án A. \(5y = 3x \Rightarrow y = \dfrac{{3x}}{5}\) hay đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x.\)

Đáp án B. \(y\) và \(x\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ là \( - 2\) .

Đáp án C. \(y\) và \(x\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là \(2019\).

Đáp án D. \(y\) và \(x\) không tỉ lệ thuận cũng không tỉ lệ nghịch.

Chọn C.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

- Vẽ hình.

- Vận dụng định lý : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Cách giải:

Ta có : \(Ox\) là tia đối của \(Ox'\); \(Oy\) là tia đối của \(Oy'\) (do cách vẽ)

Vậy \(\widehat {xOy'}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc đối đỉnh

\( \Rightarrow \widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = 50^\circ .\)

Chọn D.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng.

Cách giải:

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Chọn A.

Câu 11 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng kiến thức : Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

 Cách giải:

Giả sử có \(\Delta ABC\)

Góc ngoài tại đỉnh \(A\) bằng \(\widehat B + \widehat C\)

Góc ngoài tại đỉnh  bằng \(\widehat A + \widehat C\)

Góc ngoài tại đỉnh \(C\) bằng \(\widehat B + \widehat A\)

Tổng ba góc ngoài của tam giác \(ABC\) bằng \(2\left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right)\)

Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) nên tổng ba góc ngoài của tam giác bằng \(2.180^\circ  = 360^\circ .\)

Chọn C.

Câu 12 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng tính chất : Hai tam giác bằng nhau thì có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Cách giải:

\(\Delta ABC = \Delta MNP \Rightarrow AC = MP\) (cặp cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow MP = 5cm.\) 

Chọn C.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Câu 13 (NB):

Phương pháp:

a) Áp dụng tính chất : \(a \times b + a \times c = a \times \left( {b + c} \right)\)

b) Sử dụng kiến thức : \(\dfrac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

Cách giải:

a) \(A = \dfrac{{ - 5}}{9} \cdot \dfrac{3}{{11}} + \dfrac{{ - 13}}{{18}} \cdot \dfrac{3}{{11}}\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{ - 5}}{9} + \dfrac{{ - 13}}{{18}}} \right) \cdot \dfrac{3}{{11}}\\A = \dfrac{{ - 10 + \left( { - 13} \right)}}{{18}} \cdot \dfrac{3}{{11}}\\A = \dfrac{{ - 23.3}}{{6.3.11}}\\A = \dfrac{{ - 23}}{{66}}\end{array}\)

b) \(B = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{30}}{{.15}^5}}}{{{{25}^7}.{{\left( { - 9} \right)}^2}}}\)

\(B = \dfrac{{{3^{30}}{{.15}^5}}}{{{{25}^7}{{.9}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{{3^{30}}{{.3}^5}{{.5}^5}}}{{{{\left( {{5^2}} \right)}^7}.{{\left( {{3^2}} \right)}^2}}}\\B = \dfrac{{{3^{35}}{{.5}^5}}}{{{5^{14}}{{.3}^4}}}\\B = \dfrac{{{3^{31}}}}{{{5^9}}}\end{array}\)

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

a) Áp dụng kiến thức : Nếu \(ad = bc\) và \(a,b,c,d \ne 0\) thì \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d};\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d};\)\(\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a};\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}.\)

b) Áp dụng tính chất : Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)  thì \(ad = bc.\)

c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và chứng minh.

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} \)\(\Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} \)\(= \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} \)\(= \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Cách giải:

a)  Lập tất cả các tỉ lệ thức từ đẳng thức \(13.18 = 9.26\).

Ta lập được các tỉ lệ thức sau :

\(\dfrac{{13}}{9} = \dfrac{{26}}{{18}};\dfrac{{18}}{9} = \dfrac{{26}}{{13}};\dfrac{{13}}{{26}} = \dfrac{9}{{18}};\)\(\dfrac{9}{{13}} = \dfrac{{18}}{{26}}\)

b) Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d},\) chứng minh rằng \(\dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}} \cdot \)

Ta có : \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad = bc\)

Cộng hai vế với \(ac\) ta được: \(ac + ad = ac + bc\) \( \Leftrightarrow a\left( {c + d} \right) = c\left( {a + b} \right)\) hay \(\dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}.\)

c) Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}\) và \(x - 2y + 3z =  - 33.\) Tìm giá trị của \(x,y,z.\)

Ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6} \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{{2y}}{{10}} = \dfrac{{3z}}{{18}}\)

Mà \(x - 2y + 3z =  - 33\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{{2y}}{{10}} = \dfrac{{3z}}{{18}} = \dfrac{{x - 2y + 3z}}{{3 - 10 + 18}} = \dfrac{{ - 33}}{{11}} =  - 3\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{3} =  - 3 \Rightarrow x =  - 3.3 =  - 9\\\dfrac{y}{5} =  - 3 \Rightarrow y =  - 3.5 =  - 15\\\dfrac{z}{6} =  - 3 \Rightarrow z =  - 3.6 =  - 18\end{array} \right.\)

Vậy giá trị của \(x,y,z\) cần tìm lần lượt là \( - 9, - 15, - 18.\)

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, từ đó tìm lời giải cho bài toán.

Cách giải:

Giả sử ba phần \(a,b,c\) lần lượt tỉ lệ nghịch với \(2,3,4\) theo hệ số tỉ lệ \(k\) thì ta có :

\(a.2 = b.3 = c.4 = k\)

Ta có : \(a.2 = b.3 \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{6} = \dfrac{b}{4}\)

Và \(3b = 4c \Rightarrow \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{6} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{3}\)

Mặt khác : \(a + b + c = 520\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{a}{6} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{3} = \dfrac{{a + b + c}}{{13}} = \dfrac{{520}}{{13}} = 40\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{6} = 40 \Rightarrow a = 40.6 = 240\\\dfrac{b}{4} = 40 \Rightarrow b = 40.4 = 160\\\dfrac{c}{3} = 40 \Rightarrow c = 40.3 = 120\end{array} \right.\)

Vậy ba số \(a,b,c\) cần tìm lần lượt là \(240,160,120.\)

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

a) Vận dụng kiến thức: Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo thành các cặp góc so le trong bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc các cặp góc trong cùng phía bù nhau.

b) Lấy một điểm \(O\) bất kì trong mặt phẳng, qua \(O\) dựng các đường thẳng song song với các đường thẳng đã cho.

Chứng minh bằng phản chứng, giả sử các góc tạo thành đều lớn hơn \({36^0}\) suy ra điều mâu thuẫn và kết luận.

Cách giải:

a) Cho hình vẽ. Biết \(Bx//Oz,\,Oz//Ny\) và \(\widehat {xBO} = 130^\circ ,\widehat {ONy} = 140^\circ .\) Tính \(\widehat {NOB}.\)

Ta có \(Bx//Oz;\,Oz//Ny\) nên

Vẽ tia \(Oz'\) là tia đối của tia \(Oz\)

Ta có \(Oz'//Bx\) nên \(\widehat {xBO} + \widehat {{O_1}} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)

Mà \(\widehat {xBO} = 130^\circ \) nên \(\widehat {{O_1}} = 180^\circ  - 130^\circ  = 50^\circ \)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {ONy} + \widehat {{O_2}} = 180^\circ \) (do \(Oz'//Ny\))
mà \(\widehat {ONy} = 140^\circ \) nên \(\widehat {{O_2}} = 180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ \)

Tia \(Oz'\) chia góc \(NOB\) thành hai góc \({O_1}\) và góc \({O_2}\) nên \(\widehat {NOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 50^\circ  + 40^\circ  = 90^\circ \)

b) Cho \(5\) đường thẳng phân biệt sao cho không có \(2\) đường thẳng nào song song. Chứng minh tồn tại một cặp đường thẳng tạo với nhau một góc không quá \(36^\circ .\)

Lấy một điểm \(O\) bất kì, qua \(O\) kẻ các đường thẳng song song với \(5\) đường thẳng đã cho.

Khi đó tạo thành \(10\) góc tại \(O\) có tổng số đo bằng \({360^0}\), trong đó có \(5\) cặp góc đối đỉnh \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_6}},\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_7}},\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_8}},\) \(\widehat {{O_4}} = \widehat {{O_9}},\widehat {{O_5}} = \widehat {{O_{10}}}\) nên:

\(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}}\)\( = \widehat {{O_6}} + \widehat {{O_7}} + \widehat {{O_8}} + \widehat {{O_9}} + \widehat {{O_{10}}} = \dfrac{{{{360}^0}}}{2} = {180^0}\)

Giả sử không tồn tại cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc không quá \({36^0}\) hay tất cả các góc tạo thành đều lớn hơn .

Khi đó \(\widehat {{O_1}} > {36^0},\widehat {{O_2}}\)\( > {36^0},\widehat {{O_3}} > {36^0},\)\(\widehat {{O_4}} > {36^0},\)\(\widehat {{O_5}} > {36^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}} \)\(> {36^0} + {36^0} + {36^0} + {36^0} + {36^0} = {180^0}\)

(mâu thuẫn vì \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} \)\(+ \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}} = {180^0}\))

Vậy phải tồn tại một cặp đường thẳng tạo với nhau một góc không quá \({36^0}\).

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

a) Vận dụng kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác.

b) Chứng minh hai tam giác bằng nhau suy ra hai góc bằng nhau tương ứng.

Sử dụng định lý hai góc đối đỉnh suy ra điều phải chứng minh.

Cách giải: 

a) Chứng minh \(AB = CE\) và \(AB//CE.\)

Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta CEM\) có :

\(BM = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

\(MA = ME\) (cách vẽ)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CME}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta ECM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow AB = CE\) (cặp cạnh tương ứng)

Ta có : \(\widehat {ABM} = \widehat {ECM}\) (cặp góc tương ứng)

Mà hai góc đó là cặp góc so le trong nên \(AB//CE.\)

b) Trên đoạn thẳng \(AB\) lấy điểm \(I\) và trên đoạn thẳng \(CE\) lấy điểm \(K\) sao cho \(AI = EK\). Chứng minh rằng ba điểm \(I,M,K\) thẳng hàng.

Từ câu a, \(\Delta ABM = \Delta ECM\)\( \Rightarrow \widehat {IAM} = \widehat {KEM}\) (góc tương ứng)

Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta EKM\) có :

\(AI = EK\left( {gt} \right)\)

\(AM = ME\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {IAM} = \widehat {KEM}\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AIM = \Delta EKM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {IMA} = \widehat {KME}\) (cặp góc tương ứng)

Do \(MA\) là tia đối của tia \(ME\) nên \(MI\) là tia đối của tia \(MK\) hay \(I,M,K\) thẳng hàng.

Câu 18 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)  thì \(ad = bc.\)

Và

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} \)\(= \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} \)\(= \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Cách giải:

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

Ta có :

\(\dfrac{{x + y}}{5} = \dfrac{{x - y}}{1} = \dfrac{{xy}}{{12}}\) (*)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{{x + y}}{5} = \dfrac{{x - y}}{1} = \dfrac{{x + y + x - y}}{{5 + 1}} = \dfrac{{2x}}{6} = \dfrac{x}{3}\)

Mà \(\dfrac{{x + y}}{5} = \dfrac{{x - y}}{1} = \dfrac{{xy}}{{12}}\) nên \(\dfrac{{xy}}{{12}} = \dfrac{x}{3} \Rightarrow \dfrac{{xy}}{x} = \dfrac{{12}}{3} \Rightarrow y = 4\)

Thay giá trị \(y = 4\) vào biểu thức (*) ta có :

\(\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{x - 4}}{1}\)\( \Rightarrow x + 4 = 5x - 20 \)\(\Rightarrow 24 = 4x \Rightarrow x = 6\)

Vậy hai số cần tìm lần lượt là \(6\) và \(4.\)

Hết