Giải bài tập 4 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Chứng minh trong một đường tròn:

a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy;

b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy;

c) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;

d) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a)

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(AB\) xuống \(CD\).

Do \(AB \bot CD\) nên \(OH \bot CD\).

Xét tam giác \(OCD\) có: \(OC = OD \Rightarrow \Delta OCD\) vuông tại \(O\).

Lại có \(OH \bot CD\) nên \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(OCD\).

Vậy \(H\) là trung điểm của \(CD\).

b)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\).

Xét tam giác \(OCD\) có: \(OC = OD \Rightarrow \Delta OCD\) vuông tại \(O\).

Lại có \(OH\) là đường trung tuyến của tam giác \(OCD\) nên \(OH\)đồng thời là đường cao của tam giác \(OCD\).

Vậy \(OH \bot CD\).

c)

Gọi \(OH,OK\)lần lượt là khoảng cách từ \(O\) tới \(AB,CD\).

Do \(AB = CD \Rightarrow AH = CK\).

Xét tam giác \(OAH\) và tam giác \(OCK\) có:

\(\widehat {AHO} = \widehat {CKO} = 90^\circ \)

\(OA = OC = R\)

\(AH = CK\)

\( \Rightarrow \Delta AHO = \Delta CKO\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow OH = OK\) (cạnh tương ứng).

d)

Gọi \(OH,OK\) lần lượt là khoảng cách từ \(O\) tới \(AB,CD\).

Xét tam giác \(OAH\) và tam giác \(OCK\) có:

\(\widehat {AHO} = \widehat {CKO} = 90^\circ \)

\(OA = OC = R\)

\(OH = OK\)

\( \Rightarrow \Delta AHO = \Delta CKO\) (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow AH = CK\) (cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự: \(BH = DK\) nên \(AB = CD\).