Bài 98 trang 22 SBT toán 9 tập 1

Chứng minh các đẳng thức: 

LG câu a

\(\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  = \sqrt 6 \)

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

\({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\) với (\(A \ge 0\))

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(4 > 3 \Rightarrow \sqrt 4  > \sqrt  3  \Rightarrow 2 > \sqrt 3  > 0\)

 Suy ra: \(\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  > 0\) 

Ta có: 

\({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2}\)\( = 2 + \sqrt 3  + 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } .\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + 2 - \sqrt 3 \)

\( = 4 + 2\sqrt {4 - 3}  = 4 + 2\sqrt 1  = 4 + 2 = 6\)

\({\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 6\)

Vì \({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\) nên \(\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  = \sqrt 6 \)

LG câu b

\(\sqrt {\dfrac{4}{{{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}}  - \sqrt {\dfrac{4}{{{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}}  = 8\)  

Phương pháp giải:

Áp dụng 

Với \(A \ge 0;B > 0\)

\(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

\(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

Với \(A \ge 0\) suy ra \(\left| A \right| = A\)

Với \(A < 0\) suy ra \(\left| A \right| =- A\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {\dfrac{4}{{{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}} - \sqrt {\dfrac{4}{{{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} \\
= \dfrac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} }} - \dfrac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\\
= \dfrac{2}{{\left| {2 - \sqrt 5 } \right|}} - \dfrac{2}{{\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}}
\end{array}\)

Do \(\sqrt 5  > 2\) nên

\(\begin{array}{l}
\dfrac{2}{{\left| {2 - \sqrt 5 } \right|}} - \dfrac{2}{{\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}}\\
= \dfrac{2}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{2}{{2 + \sqrt 5 }}\\
= \dfrac{{2(2 + \sqrt 5 ) - 2\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}}}\\
= \dfrac{8}{1} = 8
\end{array}\) 

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.