Bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 23 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh \(\dfrac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}\) với \(\sqrt 5  + 1\).   

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} \\= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} = \sqrt 3 + \sqrt 2
\end{array}\)  

So sánh \(\sqrt 3  + \sqrt 2 \) và \(\sqrt 5  + 1\)

Xét \(A = \sqrt 3  + \sqrt 2 >0\)

\({A^2} = {(\sqrt 3  + \sqrt 2 )^2} = 5 + 2\sqrt 6 \) 

\({A^2} - 5 = 2\sqrt 6 \)

Xét \(B = \sqrt 5  + 1>0\)

\({B^2} = {(\sqrt 5  + 1)^2} = 6 + 2\sqrt 5 \)

\({B^2} - 5 = 1 + 2\sqrt 5 \)

Ta so sánh: \(2\sqrt 6 \) và \(1 + 2\sqrt 5 \)

\({(2\sqrt 6 )^2} = 24=21+3\)

\({(1 + 2\sqrt 5 )^2} = 21 + 4\sqrt 5 \)

Do \(3 < 4\sqrt 5  \Leftrightarrow 24 < 21 + 4\sqrt 5 \)

Vậy 

\(\begin{array}{l}
{A^2} - 5 < {B^2} - 5\\
\Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\\ \Rightarrow A<B
\end{array}\)

Hay \(\dfrac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }} < \sqrt 5  + 1\).