Bài 103 trang 22 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Chứng minh:

\(x - \sqrt x  + 1 = {\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\) với \(x > 0\)

Từ đó, cho biết biểu thức \(\dfrac{1}{{x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu?  

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\)\( = x - \sqrt x  + {\dfrac{1}{4}} + {\dfrac{3}{4}} = x - \sqrt x  + 1\) 

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có: \({\dfrac{1}{x - \sqrt x  + 1}} = {\dfrac{1}{{{\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)}^2} + {\dfrac{3}{4}}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\)  nhỏ nhất.

Vì \({\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}} \ge \dfrac{3}{4}\)

Ta có \({\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}} \ge {\dfrac{3}{4}}\) nhỏ nhất bằng \({\dfrac{3}{4}}.\)

Khi đó: \({\dfrac{1}{x - \sqrt x  + 1}} \le \ \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}}} \le \ {\dfrac{4 }{3}}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}} = 0 \Rightarrow x = {\dfrac{1}{4}}\)

Vậy \({\dfrac{1}{x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{4 }{3}\) khi \(x = {\dfrac{1 }{4}}\).