Bài 106 trang 23 SBT toán 9 tập 1

Cho biểu thức 

\(A = \dfrac{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) - 4\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} \)\(- \dfrac{{a\sqrt b  + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}\)

LG câu a

Tìm điều kiện để A có nghĩa.

Phương pháp giải:

Để \({\sqrt A }\) có nghĩa thì \(A \ge 0\)

Áp dụng hằng đẳng thức:

\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Lời giải chi tiết:

Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi :

\(\left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr 
b \ge 0 \hfill \cr 
\sqrt a - \sqrt b \ne 0 \hfill \cr 
\sqrt {ab} \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr 
b \ge 0 \hfill \cr 
a \ne b \hfill \cr 
ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr 
b > 0 \hfill \cr 
a \ne b \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(a > 0,b > 0\) và \(a \ne b\) thì \(A\) có nghĩa.

LG câu b

Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào \(a\).  

Phương pháp giải:

Để \({\sqrt A }\) có nghĩa thì \(A \ge 0\)

Áp dụng hằng đẳng thức:

\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\( \displaystyle A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }}\)\( \displaystyle - {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }} \) 
\( \displaystyle = {{\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }}\)\(\displaystyle  - {{\sqrt {{a^2}b} + \sqrt {a{b^2}} } \over {\sqrt {ab} }} \) 
\( \displaystyle = {{\sqrt {{a^2}} - 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} \)\(\displaystyle- {{\sqrt {ab} (\sqrt a + \sqrt b )} \over {\sqrt {ab} }} \)
\( \displaystyle = {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\sqrt a - \sqrt b }} \)\(\displaystyle - \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \) 
\( \displaystyle = \sqrt a - \sqrt b - \sqrt a - \sqrt b = - 2\sqrt b \)

Vậy giá trị của \(A\) không phụ thuộc vào \(a.\)