Bài 85 trang 90 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(xy\) chỉ có một điểm chung \(C\) với hình bình hành. Gọi \(AA’, BB’, DD’\) là các đường vuông góc kẻ từ \(A, B, D\) đến đường thẳng \(xy.\) Chứng minh rằng \(AA’ = BB’ + DD’.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(O \) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\)

Kẻ \(OO’ ⊥ xy\)

Ta có: \(BB’ ⊥ xy \;\;(gt)\)

           \(DD’ ⊥ xy\;\; (gt)\)

Suy ra: \(BB’ // OO’ // DD’\)

Tứ giác \(BB’D’D\) là hình thang

\(OB = OD\) (tính chất hình bình hành)

nên \(O’B’ = O’D’\) do đó \(OO’\) là đường trung bình của hình thang \(BB’D’D\)

\(⇒ OO’= \displaystyle {{BB' + {\rm{DD}}'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình hình thang) \((1)\)

\(AA’ ⊥ xy \;\;(gt)\)

\(OO’ ⊥ xy\) (theo cách vẽ)

Suy ra: \(AA’ // OO’\)

Trong \(∆ ACA’\) ta có: \(OA = OC\) ( tính chất hình bình hành)

\(OO’ // AA’\) nên \(OO’\) là đường trung bình của \(∆ ACA’\)

\(⇒ OO’ =  \displaystyle  {1 \over 2}AA’\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(⇒ AA’ = 2OO’ \;\;(2)\)

Từ  \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AA’ = BB’ + DD’.\)